Chimie

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Lois des gaz parfaits

Un gaz n'a ni forme ni volume propre : il remplit tout l'espace disponible. Pourtant, son comportement obéit à une loi étonnamment simple qui relie sa pression, son volume, sa température et sa quantité. Maîtriser cette loi, c'est pouvoir prédire ce que fait l'air dans un poumon, une seringue ou une bouteille de plongée.

1Qu'est-ce qu'un gaz parfait ?

Un modèle simplifié

Le « gaz parfait » est une idéalisation : on imagine des particules ponctuelles (sans volume propre), qui n'interagissent pas entre elles et rebondissent élastiquement. Les gaz réels s'en approchent très bien à pression modérée et température pas trop basse.

Hypothèse du modèle	Conséquence
Particules ponctuelles	le volume des molécules est négligeable devant le volume du récipient
Pas de forces entre particules	l'énergie est purement cinétique (mouvement)
Chocs élastiques	l'énergie totale se conserve

Ces hypothèses rendent le gaz « parfait », et les calculs simples.

Pour le futur médecin

Les échanges gazeux (O₂, CO₂) dans les poumons, la pression partielle de l'oxygène dans le sang artériel, le gonflage d'un ballon de réanimation : tous se modélisent en première approche par les lois des gaz parfaits.

Vérifie que tu as compris

Qu'imagine-t-on pour un « gaz parfait » ?Réfléchis puis ouvre ▾

Des particules ponctuelles, sans interactions, aux chocs élastiques.

Quand un gaz réel se comporte-t-il comme un gaz parfait ?Réfléchis puis ouvre ▾

À pression modérée et température pas trop basse.

Dans le modèle, de quelle forme est l'énergie des particules ?Réfléchis puis ouvre ▾

Purement cinétique (aucune force entre particules).

2Les variables d'état et leurs unités

Quatre grandeurs suffisent

L'état d'un gaz est entièrement décrit par quatre nombres : la pression P, le volume V, la température T et la quantité de matière n. Les lois des gaz relient ces quatre grandeurs.

Grandeur	Symbole	Unité SI	Autres unités
Pression	P	pascal (Pa)	1 atm = 101 325 Pa = 1013 hPa
Volume	V	mètre cube (m³)	1 m³ = 1000 L
Température	T	kelvin (K)	T(K) = T(°C) + 273,15
Quantité	n	mole (mol)	—

Le piège n°1 : la température

Dans toutes les lois des gaz, la température doit être en kelvin. Utiliser des °C donne des résultats absurdes (voire une division par zéro à 0 °C). On convertit toujours :

T (K) = θ (° C) + 273, 15

Pourquoi ne peut-on pas utiliser les degrés Celsius dans PV = nRT ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que l'échelle Celsius a un zéro arbitraire (la fusion de la glace), alors que les lois des gaz exigent une échelle absolue dont le zéro correspond à l'arrêt de toute agitation (le zéro absolu, −273,15 °C). À 0 K, la pression d'un gaz parfait serait nulle ; à 0 °C elle ne l'est pas.

Vérifie que tu as compris

Quelles quatre grandeurs décrivent l'état d'un gaz ?Réfléchis puis ouvre ▾

La pression P, le volume V, la température T et la quantité n.

Dans quelle unité doit-on exprimer la température dans les lois des gaz ?Réfléchis puis ouvre ▾

En kelvin :

T (K) = θ (° C) + 273, 15

Combien vaut 1 atm en pascals ?Réfléchis puis ouvre ▾

101 325 Pa (≈ 1013 hPa).

3Les lois historiques (un paramètre à la fois)

Avant l'équation générale

Avant de tout réunir, les physiciens ont étudié le gaz une variable à la fois, en gardant les autres constantes. Chaque loi est un cas particulier de l'équation des gaz parfaits.

Loi de Boyle-Mariotte (T et n constants)

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}

P

pressionPa (ou atm)

V

volumem³ (ou L)

Quand l'utiliser

Quand on comprime ou détend un gaz à température constante (ex. une seringue bouchée).

Quand l'éviter

Si la température change : il faut alors la loi combinée ou PV = nRT.

Interprétation

À T constante, P et V sont inversement proportionnels : comprimer (V↓) augmente la pression (P↑).

Piège au concours

Oublier que c'est valable seulement à T et n constants.

Astuce mémo

« Boyle : on écrase, ça pousse plus fort » (PV reste constant).

Loi de Charles (P et n constants)

\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}

V

volumeL

T

température absolueK

Quand l'utiliser

Quand on chauffe ou refroidit un gaz à pression constante (ex. un ballon au soleil).

Quand l'éviter

Si la pression change.

Interprétation

À P constante, le volume est proportionnel à la température absolue : chauffer dilate le gaz.

Piège au concours

Mettre T en °C : la proportionnalité n'existe qu'en kelvin.

Astuce mémo

« Charles : ça chauffe, ça gonfle » (V/T constant).

Loi de Gay-Lussac (V et n constants)

\frac{P _{1}}{T _{1}} = \frac{P _{2}}{T _{2}}

P

pressionPa (ou atm)

T

température absolueK

Quand l'utiliser

Quand on chauffe un gaz dans un récipient rigide, fermé (volume fixe) : cocotte-minute, aérosol, pneu au soleil.

Quand l'éviter

Si le volume peut changer (piston mobile, ballon souple).

Interprétation

À volume constant, la pression est proportionnelle à la température absolue : chauffer fait monter la pression.

Piège au concours

Là encore, T doit être en kelvin, sinon la proportionnalité est fausse.

Astuce mémo

« Gay-Lussac : boîte fermée, ça chauffe, ça pousse » (P/T constant).

On enferme un gaz dans une seringue et on pousse le piston jusqu'à diviser le volume par 2 (à température constante). Que devient la pression ?Réfléchis puis ouvre ▾

D'après Boyle,

P V = constante

: si V est divisé par 2, P est multiplié par 2. Comprimer un gaz augmente sa pression dans la même proportion inverse.

Un gaz occupe 4 L à 2 atm. À température constante, on le comprime à 1 L. Quelle est la nouvelle pression ?Facile

Solution détaillée

Boyle :

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2} \Rightarrow 2 \times 4 = P_{2} \times 1 \Rightarrow P_{2} = 8

atm.

La loi combinée : l'outil « avant / après » incontournable

Dès que plusieurs variables changent en même temps (à quantité de gaz constante), on n'a pas besoin de connaître n ni R : il suffit d'écrire que la quantité $\frac{P V}{T}$ est la même avant et après. C'est la formule la plus rentable du chapitre pour les exercices à deux états.

Loi combinée des gaz (n constant)

\frac{P _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{P _{2} V _{2}}{T _{2}}

P

pression (même unité des deux côtés)Pa ou atm

V

volume (même unité des deux côtés)m³ ou L

T

température absolueK

Quand l'utiliser

Un gaz passe d'un état 1 à un état 2 en changeant P, V et/ou T, sans gain ni perte de matière.

Quand l'éviter

Si la quantité de gaz change (fuite, réaction) : revenir à PV = nRT sur chaque état.

Interprétation

Boyle, Charles et Gay-Lussac sont trois cas particuliers de cette relation (fige une variable et elle disparaît).

Piège au concours

Ne pas mettre les deux P (ou les deux V) dans la même unité ; oublier de passer T en kelvin.

Astuce mémo

« PV sur T reste constant » : le rapport ne bouge pas entre les deux états.

Un ballon contient 2,0 L d'air à 27 °C sous 1,0 atm. On le chauffe à 127 °C et on le comprime à 0,50 atm. Quel est le nouveau volume ?Niveau concours

Solution détaillée

On convertit :

T_{1} = 300

T_{2} = 400

K. Loi combinée :

V_{2} = V_{1} \frac{P _{1}}{P _{2}} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 2, 0 \times \frac{1 , 0}{0 , 50} \times \frac{400}{300} \approx 5, 3

L. La baisse de pression (×2) et la hausse de température (×4/3) dilatent toutes deux le gaz.

Vérifie que tu as compris

Que dit la loi de Boyle-Mariotte (T et n constants) ?Réfléchis puis ouvre ▾

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}

: à T constante, P et V sont inversement proportionnels.

Que dit la loi de Charles (P et n constants) ?Réfléchis puis ouvre ▾

V_{1} / T_{1} = V_{2} / T_{2}

: à P constante, le volume est proportionnel à la température absolue.

Quelle relation utilise-t-on quand P, V et T changent tous (n constant) ?Réfléchis puis ouvre ▾

La loi combinée

\frac{P _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{P _{2} V _{2}}{T _{2}}

4L'équation des gaz parfaits

Tout en une seule formule

En réunissant toutes les lois, on obtient l'équation des gaz parfaits, qui relie d'un coup les quatre variables. C'est l'outil central du chapitre.

Équation des gaz parfaits

P V = n R T

P

pressionPa

V

volumem³

n

quantité de matièremol

R

constante des gaz parfaits8,314 J/(mol·K)

T

température absolueK

Quand l'utiliser

Pour relier P, V, n et T dans n'importe quelle situation à l'équilibre.

Quand l'éviter

Aux très hautes pressions ou très basses températures (les gaz réels s'écartent du modèle).

Interprétation

La pression naît des chocs des molécules sur les parois : plus il y en a (n), plus elles vont vite (T) ou plus l'espace est petit (V), plus P est grande.

Piège au concours

Mélanger les unités : avec R = 8,314, il faut P en Pa, V en m³, T en K. (Avec R = 0,0821, P en atm et V en L.)

Astuce mémo

« PV = nRT » : la formule reine. Vérifie toujours les unités avant de calculer.

Pression

1.10 atm

P = nRT / V

Quantité n (mol)1.0

Température T (K)300

Volume V (L)22.4

Joue avec n, T et V : la pression P = nRT/V se met à jour. Augmente T (les particules s'agitent) ou réduis V (le piston descend) et observe P grimper.

Comprendre vraiment : d'où vient la pression ?

La pression est la force exercée par les chocs incessants des molécules sur les parois. Plus de molécules (n ↑), plus rapides (T ↑) ou un espace plus réduit (V ↓) ⇒ plus de chocs par seconde ⇒ pression plus grande. PV = nRT traduit exactement cet équilibre.

Quel volume occupe 2 mol de gaz à 300 K sous 1 atm ? (R = 0,0821 L·atm/(mol·K))Intermédiaire

Solution détaillée

V = \frac{n R T}{P} = \frac{2 \times 0 , 0821 \times 300}{1} \approx 49, 3

Vérifie que tu as compris

Que relie l'équation des gaz parfaits ?Réfléchis puis ouvre ▾

P V = n R T

: la pression, le volume, la quantité et la température absolue.

D'où vient la pression d'un gaz ?Réfléchis puis ouvre ▾

Des chocs des molécules sur les parois : plus nombreux ou plus violents ⇒ pression plus grande.

Avec R = 8,314, quelles unités faut-il pour P et V ?Réfléchis puis ouvre ▾

P en pascals et V en m³ (T toujours en K).

5Le volume molaire et les CNTP

Le même volume pour tous les gaz

Conséquence remarquable de PV = nRT : à mêmes conditions de température et de pression, une mole de n'importe quel gaz occupe le même volume. C'est la loi d'Avogadro.

Volume molaire aux CNTP

V_{m} = \frac{V}{n} = 22, 4 L/mol

V_{m}

volume molaire (CNTP : 0 °C, 1 atm)L/mol

Quand l'utiliser

Pour convertir rapidement une quantité de gaz (mol) en volume, aux CNTP.

Quand l'éviter

Hors des CNTP : il faut recalculer avec PV = nRT.

Interprétation

1 mole de gaz = 22,4 L aux conditions normales, quel que soit le gaz (O₂, CO₂, He…).

Piège au concours

Appliquer 22,4 L/mol à n'importe quelle température/pression : ce n'est valable qu'aux CNTP.

Astuce mémo

« 22,4 L par mole, aux CNTP », un nombre à connaître par cœur.

1 mole de O₂ et 1 mole de CO₂ sont placées dans les mêmes conditions (CNTP). Laquelle occupe le plus grand volume ?Réfléchis puis ouvre ▾

Les deux occupent exactement le même volume : 22,4 L. C'est la loi d'Avogadro : à T et P données, le volume ne dépend que de la quantité (n), pas de la nature du gaz. Le CO₂ est plus lourd, mais il occupe le même espace.

Quel volume occupe 0,5 mol de gaz aux CNTP ?Facile

Solution détaillée

V = n \times 22, 4 = 0, 5 \times 22, 4 = 11, 2

Exemple résolu : d'une masse de solide au volume de gaz produit

« Quel volume de CO₂, mesuré à 27 °C sous 1,0 atm, libère la décomposition de 25 g de CaCO₃ ? » $C a C O_{3} \to C a O + C O_{2}$ , avec $R = 0, 082$ L·atm/(mol·K).

1. Masse → moles. $M (C a C O_{3}) = 40 + 12 + 3 \times 16 = 100$ g/mol, donc $n = \frac{25}{100} = 0, 25$ mol.

2. Rapport stœchiométrique. CaCO₃ : CO₂ = 1 : 1, donc $n (C O_{2}) = 0, 25$ mol.

3. Moles → volume, dans les bonnes conditions. On convertit d'abord la température : $T = 27 + 273 = 300$ K. Puis $V = \frac{n R T}{P} = \frac{0 , 25 \times 0 , 082 \times 300}{1 , 0}$ . On simplifie de tête : $0, 082 \times 300 = 24, 6$ , puis $0, 25 \times 24, 6 = 6, 15$ L.

Le réflexe sans calculatrice : aux CNTP, 0,25 mol occuperait $0, 25 \times 22, 4 = 5, 6$ L. Ici on est à 300 K au lieu de 273 K, donc un peu plus : $5, 6 \times \frac{300}{273} \approx 6, 2$ L. Les deux voies concordent, le résultat est fiable. Cette estimation permet d'éliminer d'emblée les propositions absurdes d'un QCM.

Le piège : appliquer directement 22,4 L/mol alors qu'on n'est pas aux CNTP (on trouverait 5,6 L, soit 9 % d'erreur), ou garder 27 dans la formule au lieu de 300 K.

Masse volumique d'un gaz : trouver une masse molaire

En remplaçant $n = \frac{m}{M}$ dans $P V = n R T$ , on relie la masse volumique $ρ = \frac{m}{V}$ d'un gaz à sa masse molaire. C'est ainsi qu'on identifie un gaz inconnu à partir de sa densité mesurée.

Masse volumique d'un gaz parfait

ρ = \frac{m}{V} = \frac{P M}{R T}

ρ

masse volumiqueg/L (ou kg/m³)

M

masse molaire du gazg/mol

P

pressionatm (ou Pa)

T

température absolueK

Quand l'utiliser

Pour relier densité et masse molaire d'un gaz (identifier un gaz, comparer deux gaz).

Quand l'éviter

Pour un liquide ou un solide : cette relation ne vaut que pour un gaz.

Interprétation

À P et T fixées, un gaz est d'autant plus dense que ses molécules sont lourdes : ρ est proportionnelle à M.

Piège au concours

Confondre masse volumique (m/V) et quantité (n) ; garder la cohérence des unités avec le R choisi.

Astuce mémo

« plus la molécule est lourde, plus le gaz pèse » : ρ ∝ M à P et T données.

Aux CNTP, un gaz a une masse volumique de 1,25 g/L. Quelle est sa masse molaire ? De quel gaz s'agit-il probablement ?Niveau concours

Solution détaillée

Aux CNTP, une mole occupe 22,4 L, donc

M = ρ \times V_{m} = 1, 25 \times 22, 4 = 28

g/mol. C'est la masse molaire du diazote N₂ (ou du CO). On peut aussi utiliser

M = \frac{ρR T}{P}

hors CNTP.

Vérifie que tu as compris

Quel volume occupe une mole de gaz aux CNTP ?Réfléchis puis ouvre ▾

22,4 L, quel que soit le gaz (loi d'Avogadro).

De quoi dépend le volume d'un gaz à T et P données ?Réfléchis puis ouvre ▾

Uniquement de la quantité n, pas de la nature du gaz.

Comment la masse volumique d'un gaz varie-t-elle avec sa masse molaire ?Réfléchis puis ouvre ▾

ρ = \frac{P M}{R T}

: à P et T fixées, ρ est proportionnelle à M.

6Mélanges de gaz et pressions partielles

Chacun pousse de son côté

Dans un mélange (comme l'air : 78 % N₂, 21 % O₂…), chaque gaz se comporte comme s'il était seul et exerce sa propre pression partielle. La pression totale est la somme de toutes ces contributions.

Loi de Dalton

P_{t o t} = P_{1} + P_{2} + \dots = i \sum P_{i}

P_{t o t}

pression totale du mélangePa

P_{i}

pression partielle du gaz iPa

Quand l'utiliser

Pour un mélange de gaz qui ne réagissent pas entre eux.

Quand l'éviter

Si les gaz réagissent chimiquement.

Interprétation

La pression partielle d'un gaz est proportionnelle à sa fraction molaire : Pᵢ = xᵢ · P_tot.

Piège au concours

Confondre fraction molaire (proportion en moles) et fraction massique (proportion en masse).

Astuce mémo

« chacun sa part » : la pression totale se partage selon les proportions en moles.

Pour le futur médecin

La pression partielle d'oxygène (PO₂) dans l'air alvéolaire commande la diffusion de l'O₂ vers le sang. En altitude, la pression totale baisse, donc la PO₂ aussi : d'où l'essoufflement. En plongée, c'est l'inverse, la PO₂ et la PN₂ augmentent, avec des risques (narcose, toxicité de l'oxygène).

Un récipient contient un mélange à 3 atm : 1 atm d'O₂ et le reste d'azote. Quelle est la pression partielle de l'azote ? Sa fraction molaire ?Intermédiaire

Solution détaillée

P_{N_{2}} = 3 - 1 = 2

atm. Fraction molaire :

x_{N_{2}} = \frac{2}{3} \approx 0, 67

(67 %).

Vérifie que tu as compris

Que dit la loi de Dalton ?Réfléchis puis ouvre ▾

La pression totale est la somme des pressions partielles :

P_{t o t} = \sum_{i} P_{i}

À quoi la pression partielle d'un gaz est-elle proportionnelle ?Réfléchis puis ouvre ▾

À sa fraction molaire :

P_{i} = x_{i} P_{t o t}

Pourquoi s'essouffle-t-on en altitude ?Réfléchis puis ouvre ▾

La pression totale baisse, donc la pression partielle d'O₂ aussi : moins d'O₂ diffuse vers le sang.

7Le lien température-agitation

La température, c'est de l'agitation

À l'échelle microscopique, la température mesure l'agitation des molécules : plus il fait chaud, plus elles vont vite. C'est pourquoi chauffer un gaz (à V constant) augmente sa pression : les chocs sont plus violents et plus fréquents.

Conséquences à retenir

À volume constant,

P \propto T

(chauffer ⇒ la pression monte). À température donnée, les molécules légères vont en moyenne plus vite que les lourdes (à même énergie cinétique moyenne), ce qui explique que l'hydrogène diffuse plus vite que le CO₂.

On chauffe une bombe aérosol fermée. Pourquoi peut-elle exploser ?Réfléchis puis ouvre ▾

À volume constant, la pression est proportionnelle à la température absolue (

P / T

constant). En chauffant, l'agitation des molécules augmente, donc la pression interne grimpe, jusqu'à dépasser la résistance de la paroi. D'où l'avertissement « ne pas exposer à la chaleur ».

Vérifie que tu as compris

Que mesure la température à l'échelle microscopique ?Réfléchis puis ouvre ▾

L'agitation des molécules : plus il fait chaud, plus elles vont vite.

À volume constant, comment varie la pression avec la température ?Réfléchis puis ouvre ▾

P \propto T

: chauffer fait monter la pression.

À même température, quelles molécules vont en moyenne le plus vite ?Réfléchis puis ouvre ▾

Les plus légères (à même énergie cinétique moyenne), d'où une diffusion plus rapide.

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Garder la température en °C
Pourquoi : réflexe du quotidien
toujours convertir en kelvin : T(K) = T(°C) + 273,15.
Mélanger les unités de R
R = 8,314 → P en Pa, V en m³ ; R = 0,0821 → P en atm, V en L. Choisir un système et s'y tenir.
Appliquer 22,4 L/mol hors des CNTP
ce volume molaire n'est valable qu'à 0 °C et 1 atm ; sinon recalculer avec PV = nRT.
Croire que le volume molaire dépend du gaz
à T et P données, une mole de tout gaz occupe le même volume (Avogadro).
Confondre fraction molaire et fraction massique
la pression partielle suit la fraction en MOLES, pas en masse.
Oublier que Boyle/Charles ont des conditions
Boyle : T constante ; Charles : P constante ; Gay-Lussac : V constant. Sinon la loi combinée ou PV = nRT.
Compliquer un problème à deux états avec n et R
si la quantité ne change pas, la loi combinée P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ suffit (pas besoin de n ni R).

Points clés à retenir

Gaz parfait : particules ponctuelles, sans interaction, chocs élastiques (bonne approximation à P modérée).
Toujours la température en kelvin : T(K) = T(°C) + 273,15.
Boyle (T cte) : $P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}$ . Charles (P cte) : $V_{1} / T_{1} = V_{2} / T_{2}$ . Gay-Lussac (V cte) : $P_{1} / T_{1} = P_{2} / T_{2}$ .
Loi combinée (n cte) : $\frac{P _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{P _{2} V _{2}}{T _{2}}$ , l'outil « avant/après » central.
Équation reine : $P V = n R T$ (R = 8,314 SI, ou 0,0821 en atm·L) ; densité $ρ = \frac{P M}{R T}$ .
Volume molaire aux CNTP : 22,4 L/mol, identique pour tous les gaz (Avogadro).
Mélange : $P_{t o t} = \sum P_{i}$ (Dalton) ; pression partielle ∝ fraction molaire.

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