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Algèbre

L'algèbre est le langage de base de tout l'examen : presque chaque question, même en physique, se termine par une manipulation algébrique. L'objectif n'est pas de calculer vite, mais juste, en gardant le contrôle des règles de puissances, de racines, de logarithmes et de pourcentages. C'est le chapitre le plus « rentable » car il sert partout ailleurs.

1Produits remarquables et factorisation

Pourquoi les connaître par cœur ?

Reconnaître une identité remarquable dans les deux sens (développer ET factoriser) débloque la moitié des questions d'algèbre. Voir

x^{2} - 9

et penser aussitôt

(x - 3) (x + 3)

fait gagner un temps précieux.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Les trois identités à reconnaître instantanément.

L'ordre des opérations (PEMDAS)

Parenthèses, puis exposants, puis ×/÷, puis +/−. Et surtout :

(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}

, le double produit

2 ab

s'oublie tout le temps.

Comment factoriser rapidement x² − 5x + 6 ?Réfléchis puis ouvre ▾

On cherche deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme 5 : ce sont 2 et 3. Donc

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

. Cette « lecture inverse » (somme/produit) est plus rapide que le discriminant pour les trinômes simples.

Développe

(2 x - 3)^{2}

.Facile

Solution détaillée

(2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

. Ne pas oublier le double produit

- 12 x

2Puissances et racines

Tout est une histoire d'exposants

Une racine n'est qu'un exposant fractionnaire :

n a = a^{1/ n}

. Toutes les règles découlent d'une seule idée : les exposants se comptabilisent (s'additionnent au produit, se soustraient au quotient).

Règle	Formule	Exemple
Produit (même base)	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8}$
Quotient	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$	$\frac{2 ^{7}}{2 ^{4}} = 2^{3}$
Puissance de puissance	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{3} = 3^{6}$
Exposant négatif	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$5^{- 2} = \frac{1}{25}$
Racine = exposant	$n a^{m} = a^{m / n}$	$a^{6} = a^{3}$
Racine d'un carré	$a^{2} = ∣ a ∣$	$(- 4)^{2} = 4$

Le piège de la racine d'un carré

a^{2} = ∣ a ∣

a

nombre réel quelconque (signe inconnu)—

∣ a ∣

valeur absolue (toujours ≥ 0)—

Quand l'utiliser

Dès qu'on simplifie une racine carrée d'une expression au carré, surtout « pour tout x réel ».

Quand l'éviter

Si on sait déjà que a ≥ 0 : alors √(a²) = a sans valeur absolue.

Interprétation

Une racine carrée est toujours ≥ 0 ; si a était négatif, écrire √(a²) = a donnerait un résultat négatif, ce qui est faux.

Piège au concours

Écrire √(a²) = a et perdre la valeur absolue : l'erreur n°1 des questions « pour tout x ».

Astuce mémo

« la racine d'un carré rend toujours du positif » : √(a²) = |a|.

« ± » ou valeur absolue ? Deux situations à ne pas confondre

Simplifier une racine : le symbole désigne toujours la racine positive. Donc $x^{2} = ∣ x ∣$ , jamais un résultat négatif. Ex. $(- 5)^{2} = 25 = 5$ (et non −5).

Résoudre une équation : $x^{2} = a$ (avec $a > 0$ ) admet deuxsolutions, $x = \pm a$ . Ex. $x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ . C'est ici, en résolvant, qu'apparaît le « ± », pas en simplifiant $x^{2}$ .

Calcule

(- 64)^{1/3} \cdot 4^{- 1/2}

.Intermédiaire

Solution détaillée

(- 64)^{1/3} = - 4

(la racine cubique d'un négatif existe dans ℝ) et

4^{- 1/2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

. Produit :

- 4 \cdot \frac{1}{2} = - 2

3Logarithmes et exponentielles

Le log « lit » l'exposant

Le logarithme répond à : « à quel exposant élever la base pour obtenir ce nombre ? ». Sa super-pouvoir : transformer les produits en sommes, donc faire descendre une inconnue qui se trouve en exposant (résoudre

a^{t} = b

Propriété	Formule
Produit	$lo g (x y) = lo g x + lo g y$
Quotient	$lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$
Puissance	$lo g (x^{n}) = n lo g x$
Réciproque	$ln (e^{x}) = x, e^{l n x} = x$
Changement de base	$lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}$

Le piège du log

ln (a + b) \neq = ln a + ln b

: le log ne se distribue pas sur une somme. Et

ln x

n'existe que pour

x > 0

N(t) = N₀ · 2^t/2.5

T = 2.5

après 10 unités: ×16

temps de doublement T

comparer au linéaire

exponentiel (—) vs linéaire (- -)

La croissance exponentielle (verte) finit toujours par dépasser n'importe quelle droite (linéaire). Diminue le temps de doublement T : les doublements se rapprochent et la courbe s'emballe.

Pour le futur médecin

Les logarithmes structurent plusieurs échelles médicales. Le pH est défini par

pH = - lo g [H^{+}]

: passer de pH 7 à pH 6, c'est multiplier l'acidité par 10 (échelle logarithmique). De même, l'intensité sonore en décibelsest logarithmique. Et la demi-vie d'un médicament relie une décroissance exponentielle à un logarithme.

Une bactérie double toutes les 20 min. En combien de temps est-elle multipliée par 8 ?Réfléchis puis ouvre ▾

8 = 2^{3}

: il faut 3 doublements, soit

3 \times 20 = 60

min. On résout

2^{t /20} = 8

de tête. Répondre « 160 min » (8 × 20) serait raisonner linéairement, le piège.

4Équations du premier et second degré

Premier degré

a x + b = 0 ⟹ x = - \frac{b}{a}

Une seule solution (si

a \neq = 0

Second degré

Δ = b^{2} - 4 a c, x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Le signe de

Δ

donne 2 / 1 / 0 solution(s).

Les relations somme-produit (Viète)

Pour

a x^{2} + b x + c = 0

, les racines vérifient

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

. Très pratique pour factoriser ou vérifier un résultat de tête.

Résous

2 x^{2} - 8 = 0

sans le discriminant.Facile

Solution détaillée

2 x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2

. Pas besoin de Δ quand l'équation est incomplète : on isole directement.

5Systèmes de deux équations

Comprendre vraiment : c'est une intersection

Un système de deux équations à deux inconnues, c'est chercher le point commun à deux droites. Trois cas : elles se croisent (une solution), elles sont parallèles (aucune), ou confondues (une infinité).

solution unique : (2.0 ; 1.0)

y = 1.0x −1.0

y = -0.5x +2.0

m₁1.0

p₁-1.0

m₂-0.5

p₂2.0

Règle les pentes m et les ordonnées p des deux droites. Le point vert est la solution. Donne-leur la même pente (parallèles) : l'intersection disparaît, le système n'a plus de solution.

Deux méthodes de calcul

Substitution : exprimer une inconnue puis remplacer. Combinaison : additionner/soustraire les équations pour éliminer une inconnue. Choisis la plus rapide selon la forme.

Un système de deux droites de même pente mais d'ordonnées à l'origine différentes a-t-il une solution ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : deux droites de même pente sont parallèles et ne se croisent jamais (sauf si elles sont confondues). Le système n'a aucune solution. Algébriquement, on aboutit à une égalité impossible du type

0 = 3

Résous

x + y = 10

x - y = 4

.Intermédiaire

Solution détaillée

Par combinaison (addition) :

2 x = 14 \Rightarrow x = 7

, puis

y = 10 - 7 = 3

. Solution :

(7; 3)

6Proportionnalité et pourcentages

L'idée en une phrase : un pourcentage est un « × », pas un « + »

Augmenter de $p %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{p}{100}$ ; diminuer de $p %$ , c'est multiplier par $1 - \frac{p}{100}$ . Concrètement : +20 % $= \times 1, 20$ et −20 % $= \times 0, 80$ .

Pour enchaîner plusieurs variations, on multiplie les facteurs entre eux, on n'additionne jamais les pourcentages. Tout le reste de la section en découle.

Le facteur multiplicatif

+ p % : \times (1 + \frac{p}{100}) - p % : \times (1 - \frac{p}{100})

p

pourcentage de variation%

Quand l'utiliser

Pour enchaîner des hausses et des baisses (soldes, TVA, intérêts, évolutions successives).

Quand l'éviter

Si la variation est additive (pas relative) : là c'est une simple addition.

Interprétation

Une variation en % est un FACTEUR multiplicatif ; on multiplie les facteurs successifs, on ne les additionne pas.

Piège au concours

Additionner les pourcentages : −30 % puis −20 % ne fait PAS −50 %.

Astuce mémo

« +p % = ×(1 + p/100) ». Enchaîne les facteurs : l'ordre n'a aucune importance.

Exemple

−30 % puis −20 % : facteur

0, 7 \times 0, 8 = 0, 56

, soit une baisse totale de 44 % (et non 50 %).

Une action monte de 20 % une année, puis baisse de 20 % l'année suivante. Revient-elle à son prix de départ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : facteur

1, 20 \times 0, 80 = 0, 96

, soit −4 % au total. La baisse de 20 % s'applique à une valeur déjà plus grande, donc retire plus que ce que la hausse avait ajouté. Hausse puis baisse du même % ne ramène jamais au point de départ.

Un prix de base

x

subit +20 % de TVA puis −40 % en soldes. Quel facteur paie-t-on au final ?Niveau concours

Solution détaillée

x \times 1, 20 \times 0, 60 = 0, 72 x

: on paie 72 % du prix de base. L'ordre des facteurs n'a aucune importance (la multiplication est commutative).

7Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Écrire (a + b)² = a² + b²
Pourquoi : on oublie le double produit
(a + b)² = a² + 2ab + b² : le terme 2ab est essentiel.
Simplifier √(a²) en a
√(a²) = |a| : garder la valeur absolue quand le signe de a est inconnu.
Distribuer le log sur une somme
ln(a + b) ≠ ln a + ln b ; le log transforme seulement les PRODUITS en sommes.
Additionner les pourcentages successifs
on multiplie les facteurs (1 ± p/100) ; −30 % puis −20 % = −44 %, pas −50 %.
Croire que +p % puis −p % revient au départ
facteur (1+p/100)(1−p/100) = 1 − (p/100)² < 1 : on perd toujours un peu.
Oublier qu'un dénominateur ne peut pas être nul
exclure les valeurs qui annulent un dénominateur avant de résoudre.
Penser qu'un système a toujours une solution
droites parallèles ⇒ aucune ; confondues ⇒ une infinité.

Points clés à retenir

Connaître les produits remarquables dans les DEUX sens (développer et factoriser).
Puissances : les exposants s'additionnent au produit, se soustraient au quotient ; $a^{2} = ∣ a ∣$ .
Le log transforme produits en sommes et fait descendre un exposant ; défini pour $x > 0$ seulement.
Second degré : $Δ = b^{2} - 4 a c$ ⇒ nombre de solutions ; somme-produit des racines (Viète).
Système = intersection de deux droites : 1, 0 (parallèles) ou une infinité (confondues) de solutions.
Pourcentages : on MULTIPLIE des facteurs $(1 \pm \frac{p}{100})$ , on ne les additionne jamais.
+p % puis −p % ne ramène jamais au départ : facteur $1 - (p /100)^{2} < 1$ .

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