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Algèbre

L'algèbre est le langage de base de tout l'examen : presque chaque question, même en physique, se termine par une manipulation algébrique. L'objectif n'est pas de calculer vite, mais juste, en gardant le contrôle des règles de puissances, de racines, de logarithmes et de pourcentages. C'est le chapitre le plus « rentable » car il sert partout ailleurs.

1Produits remarquables et factorisation

Pourquoi les connaître par cœur ?

Reconnaître une identité remarquable dans les deux sens (développer ET factoriser) débloque la moitié des questions d'algèbre. Voir

x^{2} - 9

et penser aussitôt

(x - 3) (x + 3)

fait gagner un temps précieux.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Les trois identités à reconnaître instantanément.

L'ordre des opérations (PEMDAS)

Parenthèses, puis exposants, puis ×/÷, puis +/−. Et surtout :

(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}

, le double produit

2 ab

s'oublie tout le temps.

Comment factoriser rapidement x² − 5x + 6 ?Réfléchis puis ouvre ▾

On cherche deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme 5 : ce sont 2 et 3. Donc

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

. Cette « lecture inverse » (somme/produit) est plus rapide que le discriminant pour les trinômes simples.

Développe

(2 x - 3)^{2}

.Facile

Solution détaillée

(2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

. Ne pas oublier le double produit

- 12 x

Vérifie que tu as compris

À quoi est égal (a + b)² ?Réfléchis puis ouvre ▾

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

: ne jamais oublier le double produit

2 ab

Comment factoriser a² − b² ?Réfléchis puis ouvre ▾

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

, la différence de deux carrés.

Dans quel ordre effectue-t-on les opérations ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parenthèses, puis exposants, puis ×/÷, puis +/− (PEMDAS).

2Puissances et racines

Tout est une histoire d'exposants

Une racine n'est qu'un exposant fractionnaire :

n a = a^{1/ n}

. Toutes les règles découlent d'une seule idée : les exposants se comptabilisent (s'additionnent au produit, se soustraient au quotient).

Règle	Formule	Exemple
Produit (même base)	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8}$
Quotient	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$	$\frac{2 ^{7}}{2 ^{4}} = 2^{3}$
Puissance de puissance	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{3} = 3^{6}$
Exposant négatif	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$5^{- 2} = \frac{1}{25}$
Racine = exposant	$n a^{m} = a^{m / n}$	$a^{6} = a^{3}$
Racine d'un carré	$a^{2} = ∣ a ∣$	$(- 4)^{2} = 4$

Le piège de la racine d'un carré

a^{2} = ∣ a ∣

a

nombre réel quelconque (signe inconnu)—

∣ a ∣

valeur absolue (toujours ≥ 0)—

Quand l'utiliser

Dès qu'on simplifie une racine carrée d'une expression au carré, surtout « pour tout x réel ».

Quand l'éviter

Si on sait déjà que a ≥ 0 : alors √(a²) = a sans valeur absolue.

Interprétation

Une racine carrée est toujours ≥ 0 ; si a était négatif, écrire √(a²) = a donnerait un résultat négatif, ce qui est faux.

Piège au concours

Écrire √(a²) = a et perdre la valeur absolue : l'erreur n°1 des questions « pour tout x ».

Astuce mémo

« la racine d'un carré rend toujours du positif » : √(a²) = |a|.

« ± » ou valeur absolue ? Deux situations à ne pas confondre

Simplifier une racine : le symbole désigne toujours la racine positive. Donc $x^{2} = ∣ x ∣$ , jamais un résultat négatif. Ex. $(- 5)^{2} = 25 = 5$ (et non −5).

Résoudre une équation : $x^{2} = a$ (avec $a > 0$ ) admet deuxsolutions, $x = \pm a$ . Ex. $x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ . C'est ici, en résolvant, qu'apparaît le « ± », pas en simplifiant $x^{2}$ .

Calcule

(- 64)^{1/3} \cdot 4^{- 1/2}

.Intermédiaire

Solution détaillée

(- 64)^{1/3} = - 4

(la racine cubique d'un négatif existe dans ℝ) et

4^{- 1/2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

. Produit :

- 4 \cdot \frac{1}{2} = - 2

Pour le futur médecin

La racine carrée sert tous les jours en oncologie. Les chimiothérapies se dosent par m² de surface corporelle, et la surface corporelle s'estime par la formule de Mosteller : $S = \frac{taille (cm) \times masse (kg)}{3600}$ .

Pour 170 cm et 70 kg : $S = \frac{170 \times 70}{3600} = 3, 31 \approx 1, 82$ m². Une prescription « 75 mg/m² » devient alors $75 \times 1, 82 \approx 137$ mg. Toute la dose du patient tient dans cette racine.

Vérifie que tu as compris

Que vaut aᵐ · aⁿ (même base) ?Réfléchis puis ouvre ▾

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

: au produit, les exposants s'additionnent.

Que vaut √(a²) pour a réel quelconque ?Réfléchis puis ouvre ▾

a^{2} = ∣ a ∣

, la valeur absolue : une racine carrée est toujours

\geq 0

Comment réécrire un exposant négatif a⁻ⁿ ?Réfléchis puis ouvre ▾

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

: l'exposant négatif signale un passage à l'inverse.

3Logarithmes et exponentielles

Le log « lit » l'exposant

Le logarithme répond à : « à quel exposant élever la base pour obtenir ce nombre ? ». Sa super-pouvoir : transformer les produits en sommes, donc faire descendre une inconnue qui se trouve en exposant (résoudre

a^{t} = b

Propriété	Formule
Produit	$lo g (x y) = lo g x + lo g y$
Quotient	$lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$
Puissance	$lo g (x^{n}) = n lo g x$
Réciproque	$ln (e^{x}) = x, e^{l n x} = x$
Changement de base	$lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}$

Le piège du log

ln (a + b) \neq = ln a + ln b

: le log ne se distribue pas sur une somme. Et

ln x

n'existe que pour

x > 0

N(t) = N₀ · 2^t/2.5

T = 2.5

après 10 unités: ×16

temps de doublement T

comparer au linéaire

exponentiel (—) vs linéaire (- -)

La croissance exponentielle (verte) finit toujours par dépasser n'importe quelle droite (linéaire). Diminue le temps de doublement T : les doublements se rapprochent et la courbe s'emballe.

Pour le futur médecin

Les logarithmes structurent plusieurs échelles médicales. Le pH est défini par

pH = - lo g [H^{+}]

: passer de pH 7 à pH 6, c'est multiplier l'acidité par 10 (échelle logarithmique). De même, l'intensité sonore en décibelsest logarithmique. Et la demi-vie d'un médicament relie une décroissance exponentielle à un logarithme.

Une bactérie double toutes les 20 min. En combien de temps est-elle multipliée par 8 ?Réfléchis puis ouvre ▾

8 = 2^{3}

: il faut 3 doublements, soit

3 \times 20 = 60

min. On résout

2^{t /20} = 8

de tête. Répondre « 160 min » (8 × 20) serait raisonner linéairement, le piège.

Vérifie que tu as compris

Quel est le super-pouvoir du logarithme ?Réfléchis puis ouvre ▾

Transformer un produit en somme (

lo g (x y) = lo g x + lo g y

) et faire descendre un exposant.

A-t-on ln(a + b) = ln a + ln b ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : le log ne se distribue pas sur une somme. Seuls les produits deviennent des sommes.

Pour quelles valeurs ln x existe-t-il ?Réfléchis puis ouvre ▾

Seulement pour

x > 0

: pas de logarithme d'un nombre nul ou négatif.

4Équations du premier et second degré

Premier degré

a x + b = 0 ⟹ x = - \frac{b}{a}

Une seule solution (si

a \neq = 0

Second degré

Δ = b^{2} - 4 a c, x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Le signe de

Δ

donne 2 / 1 / 0 solution(s).

Les relations somme-produit (Viète)

Pour

a x^{2} + b x + c = 0

, les racines vérifient

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

. Très pratique pour factoriser ou vérifier un résultat de tête.

Résous

2 x^{2} - 8 = 0

sans le discriminant.Facile

Solution détaillée

2 x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2

. Pas besoin de Δ quand l'équation est incomplète : on isole directement.

Vérifie que tu as compris

Combien de solutions a une équation du premier degré ax + b = 0 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Une seule,

x = - \frac{b}{a}

(dès que

a \neq = 0

Que donnent les relations de Viète pour ax² + bx + c = 0 ?Réfléchis puis ouvre ▾

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

: somme et produit des racines.

Faut-il toujours le discriminant pour résoudre 2x² − 8 = 0 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : l'équation est incomplète (pas de terme en

x

), on isole directement

x = \pm 2

5Systèmes de deux équations

Comprendre vraiment : c'est une intersection

Un système de deux équations à deux inconnues, c'est chercher le point commun à deux droites. Trois cas : elles se croisent (une solution), elles sont parallèles (aucune), ou confondues (une infinité).

solution unique : (2.0 ; 1.0)

y = 1.0x −1.0

y = -0.5x +2.0

m₁1.0

p₁-1.0

m₂-0.5

p₂2.0

Règle les pentes m et les ordonnées p des deux droites. Le point vert est la solution. Donne-leur la même pente (parallèles) : l'intersection disparaît, le système n'a plus de solution.

Deux méthodes de calcul

Substitution : exprimer une inconnue puis remplacer. Combinaison : additionner/soustraire les équations pour éliminer une inconnue. Choisis la plus rapide selon la forme.

Un système de deux droites de même pente mais d'ordonnées à l'origine différentes a-t-il une solution ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : deux droites de même pente sont parallèles et ne se croisent jamais (sauf si elles sont confondues). Le système n'a aucune solution. Algébriquement, on aboutit à une égalité impossible du type

0 = 3

Résous

x + y = 10

x - y = 4

.Intermédiaire

Solution détaillée

Par combinaison (addition) :

2 x = 14 \Rightarrow x = 7

, puis

y = 10 - 7 = 3

. Solution :

(7; 3)

Vérifie que tu as compris

Géométriquement, que cherche un système de deux équations à deux inconnues ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le point d'intersection de deux droites.

Que signifie « aucune solution » pour un tel système ?Réfléchis puis ouvre ▾

Les deux droites sont parallèles (même pente, ordonnées différentes) : elles ne se croisent jamais.

Cite les deux méthodes de résolution.Réfléchis puis ouvre ▾

La substitution (isoler une inconnue puis remplacer) et la combinaison(additionner/soustraire pour éliminer une inconnue).

6Proportionnalité et pourcentages

L'idée en une phrase : un pourcentage est un « × », pas un « + »

Augmenter de $p %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{p}{100}$ ; diminuer de $p %$ , c'est multiplier par $1 - \frac{p}{100}$ . Concrètement : +20 % $= \times 1, 20$ et −20 % $= \times 0, 80$ .

Pour enchaîner plusieurs variations, on multiplie les facteurs entre eux, on n'additionne jamais les pourcentages. Tout le reste de la section en découle.

Le facteur multiplicatif

+ p % : \times (1 + \frac{p}{100}) - p % : \times (1 - \frac{p}{100})

p

pourcentage de variation%

Quand l'utiliser

Pour enchaîner des hausses et des baisses (soldes, TVA, intérêts, évolutions successives).

Quand l'éviter

Si la variation est additive (pas relative) : là c'est une simple addition.

Interprétation

Une variation en % est un FACTEUR multiplicatif ; on multiplie les facteurs successifs, on ne les additionne pas.

Piège au concours

Additionner les pourcentages : −30 % puis −20 % ne fait PAS −50 %.

Astuce mémo

« +p % = ×(1 + p/100) ». Enchaîne les facteurs : l'ordre n'a aucune importance.

Exemple

−30 % puis −20 % : facteur

0, 7 \times 0, 8 = 0, 56

, soit une baisse totale de 44 % (et non 50 %).

Une action monte de 20 % une année, puis baisse de 20 % l'année suivante. Revient-elle à son prix de départ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : facteur

1, 20 \times 0, 80 = 0, 96

, soit −4 % au total. La baisse de 20 % s'applique à une valeur déjà plus grande, donc retire plus que ce que la hausse avait ajouté. Hausse puis baisse du même % ne ramène jamais au point de départ.

Un prix de base

x

subit +20 % de TVA puis −40 % en soldes. Quel facteur paie-t-on au final ?Niveau concours

Solution détaillée

x \times 1, 20 \times 0, 60 = 0, 72 x

: on paie 72 % du prix de base. L'ordre des facteurs n'a aucune importance (la multiplication est commutative).

Pour le futur médecin

La proportionnalité est le calcul le plus fréquent d'un service hospitalier. Trois exemples, tous construits sur une simple règle de trois :

Posologie au poids : un protocole à 15 mg/kg donne $15 \times 12 = 180$ mg pour un patient de 12 kg. Dilution : préparer une solution moins concentrée obéit à $C_{1} V_{1} = C_{2} V_{2}$ . Débit de perfusion : avec un perfuseur standard à 20 gouttes par mL, passer 500 mL en 4 h (240 min) demande $\frac{500 \times 20}{240} \approx 42$ gouttes par minute.

Rien de sophistiqué, mais une erreur d'un facteur 10 sur une de ces proportions est l'un des mécanismes classiques de l'erreur médicamenteuse. La rigueur sur les unités n'est pas une coquetterie de mathématicien.

Vérifie que tu as compris

Augmenter de 20 %, c'est multiplier par combien ?Réfléchis puis ouvre ▾

Par

1, 20

. Une variation de

+ p %

équivaut à

\times (1 + \frac{p}{100})

Pour enchaîner deux variations en %, additionne-t-on les pourcentages ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non, jamais : on multiplie les facteurs. Ainsi −30 % puis −20 % donne

0, 7 \times 0, 8 = 0, 56

, soit −44 %.

Diminuer de 40 %, c'est multiplier par combien ?Réfléchis puis ouvre ▾

Par

0, 60

1 - \frac{40}{100} = 0, 60

7Inéquations et signe d'un trinôme

Résoudre une inéquation, c'est trouver un intervalle

Une équation cherche des points isolés ; une inéquation cherche toutesles valeurs de

x

qui rendent l'affirmation vraie. La solution n'est donc plus un nombre mais un intervalle (ou une réunion d'intervalles). Le concours adore ça car une seule erreur de signe fait tout basculer.

LA règle d'or : multiplier par un négatif inverse le sens

On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres… mais multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Exemple :

- 2 x < 6

donne

x > - 3

(le « < » devient « > »). C'est l'erreur numéro un des inéquations.

Résous

3 - 2 x \geq 9

.Facile

Solution détaillée

- 2 x \geq 6

, puis on divise par

- 2

en inversant :

x \leq - 3

. Solution :

] - \infty; - 3]

Le signe d'un trinôme ax² + bx + c

Pour une inéquation du second degré, inutile de tester des valeurs : on connaît le signe du trinôme partout dès qu'on a son discriminant. La règle tient en une phrase : « du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines ».

Discriminant	Racines	Signe de ax² + bx + c
$Δ > 0$	deux racines x₁ < x₂	signe de a à l'extérieur de [x₁, x₂], signe de −a entre les deux
$Δ = 0$	une racine double x₀	signe de a partout (nul seulement en x₀)
$Δ < 0$	aucune racine réelle	signe de a partout, sans jamais s'annuler

Astuce : une parabole tournée vers le haut (a > 0) est positive « aux extrémités », négative « dans le creux » entre ses racines.

Tableau de signes : l'outil pour les produits et quotients

Pour

\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3}

, on place les valeurs qui annulent chaque facteur (−2, 1, 3) sur une ligne, on étudie le signe de chaque facteur dans chaque intervalle, puis on multiplie les signes colonne par colonne. On exclut toujours la valeur qui annule un dénominateur (ici

x = 3

, valeur interdite).

Résous

x^{2} - 5 x + 6 > 0

.Niveau concours

Solution détaillée

Racines :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2

x = 3

. Ici

a = 1 > 0

, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines :

S =] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [

. Entre 2 et 3, il est négatif (le creux de la parabole). Piège fréquent : cocher

] 2; 3 [

, l'inverse.

Vérifie que tu as compris

Quel geste change le sens d'une inéquation ?Réfléchis puis ouvre ▾

Multiplier ou diviser par un nombre négatif : le

<

devient

>

Quel est le signe d'un trinôme ax² + bx + c à l'extérieur de ses racines ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le signe de a ; entre les racines, le signe opposé.

La solution d'une inéquation est-elle un nombre ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : c'est un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de valeurs.

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Écrire (a + b)² = a² + b²
Pourquoi : on oublie le double produit
(a + b)² = a² + 2ab + b² : le terme 2ab est essentiel.
Simplifier √(a²) en a
√(a²) = |a| : garder la valeur absolue quand le signe de a est inconnu.
Distribuer le log sur une somme
ln(a + b) ≠ ln a + ln b ; le log transforme seulement les PRODUITS en sommes.
Additionner les pourcentages successifs
on multiplie les facteurs (1 ± p/100) ; −30 % puis −20 % = −44 %, pas −50 %.
Croire que +p % puis −p % revient au départ
facteur (1+p/100)(1−p/100) = 1 − (p/100)² < 1 : on perd toujours un peu.
Oublier qu'un dénominateur ne peut pas être nul
exclure les valeurs qui annulent un dénominateur avant de résoudre.
Penser qu'un système a toujours une solution
droites parallèles ⇒ aucune ; confondues ⇒ une infinité.
Ne pas inverser le sens en divisant une inéquation par un négatif
Pourquoi : on applique les mêmes gestes qu'à une équation
multiplier/diviser par un nombre < 0 retourne le « < » en « > ».
Se tromper de zone pour le signe d'un trinôme
signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les deux (parabole).

Points clés à retenir

Connaître les produits remarquables dans les DEUX sens (développer et factoriser).
Puissances : les exposants s'additionnent au produit, se soustraient au quotient ; $a^{2} = ∣ a ∣$ .
Le log transforme produits en sommes et fait descendre un exposant ; défini pour $x > 0$ seulement.
Second degré : $Δ = b^{2} - 4 a c$ ⇒ nombre de solutions ; somme-produit des racines (Viète).
Système = intersection de deux droites : 1, 0 (parallèles) ou une infinité (confondues) de solutions.
Pourcentages : on MULTIPLIE des facteurs $(1 \pm \frac{p}{100})$ , on ne les additionne jamais.
+p % puis −p % ne ramène jamais au départ : facteur $1 - (p /100)^{2} < 1$ .
Inéquation : diviser par un négatif inverse le sens ; solution = intervalle(s).
Signe de $a x^{2} + b x + c$ : celui de a à l'extérieur des racines, opposé entre les racines.

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