Mathématiques

Gratuit

Fonctions

Une fonction, c'est une machine à transformer : tu lui donnes un nombre $x$ en entrée, elle te rend un (et un seul) nombre $f (x)$ en sortie. Derrière ce mot se cache l'outil qui relie deux grandeurs, une dose et son effet, un temps et une population de bactéries, une taille et un poids. Savoir lire un graphique et reconnaître la forme d'une fonction (droite, parabole, exponentielle) est l'une des compétences les plus rentables du concours.

1Qu'est-ce qu'une fonction ?

L'intuition d'abord

Imagine un distributeur : tu appuies sur « B3 » (l'entrée), il te sort une barre chocolatée (la sortie). Une fonction fait pareil avec des nombres. La règle d'or : à chaque entrée correspond une seule sortie. Une machine qui rendrait parfois deux résultats différents pour la même touche ne serait pas une fonction.

Notation et vocabulaire

On écrit $f : x \mapsto f (x)$ . Le nombre $x$ est l'antécédent (ce qu'on met dans la machine), et $f (x)$ est l'image (ce qui en sort). L'ensemble des entrées autorisées est le domaine $D_{f}$ ; l'ensemble des sorties obtenues est l'image de la fonction.

Terme	Signification	Exemple avec f(x) = x²
Antécédent x	le nombre d'entrée	x = 3
Image f(x)	le nombre de sortie	f(3) = 9
Domaine Df	toutes les entrées permises	ℝ (tous les réels)
Graphe	l'ensemble des points (x, f(x))	une parabole

Le cercle d'équation x² + y² = 1 définit-il y comme une fonction de x ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non. Pour

x = 0

, il y a deux valeurs de

y

possibles (

y = + 1

y = - 1

). Or une fonction doit associer une seule sortie à chaque entrée. Le cercle entier n'est donc pas un graphe de fonction (le « test de la droite verticale » échoue : une verticale le coupe en deux points).

2Le domaine de définition

Pourquoi cette notion ?

Certaines opérations sont interdites : diviser par zéro, prendre la racine carrée d'un nombre négatif, le logarithme d'un nombre ≤ 0. Le domaine, c'est la liste des

x

pour lesquels la machine ne « plante » pas. Le concours teste presque toujours ce réflexe.

Si la fonction contient…	Condition à imposer	Exemple
un dénominateur $\frac{1}{g ( x )}$	$g (x) \neq = 0$	$\frac{1}{x - 2} : x \neq = 2$
une racine $g (x)$	$g (x) \geq 0$	$x - 3 : x \geq 3$
un logarithme $ln g (x)$	$g (x) > 0$	$ln (x) : x > 0$

Combine les conditions (intersection) quand plusieurs apparaissent en même temps.

Méthode examen

Repère les trois « pièges » (fraction, racine, log), écris la condition de chacun, puis prends l'intersection. Le domaine s'écrit avec

R

privé des valeurs interdites, ou comme un intervalle.

Quel est le domaine de

f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}

?Intermédiaire

Solution détaillée

Deux conditions : la racine impose

x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 1

; le dénominateur impose

x \neq = 3

. Domaine :

D_{f} = [- 1; 3 [\cup] 3; + \infty [

3Fonction du premier degré (affine)

La proportionnalité… presque

f (x) = a x + b

décrit tout ce qui varie à taux constant : un forfait téléphonique (un prix fixe

b

+ un coût par minute

a

), la conversion Celsius–Fahrenheit, une perfusion à débit constant. Son graphe est toujours une droite.

Fonction affine

f (x) = a x + b

a

pente (taux de variation)—

b

ordonnée à l'origine—

Quand l'utiliser

Toute situation à variation constante : le graphe est une droite.

Quand l'éviter

Dès que le taux de variation change (croissance qui s'accélère ⇒ parabole ou exponentielle).

Interprétation

a est la pente (de combien monte y quand x augmente de 1) ; b est la valeur de départ f(0), là où la droite coupe l'axe vertical.

Piège au concours

Confondre pente et ordonnée à l'origine, ou oublier le signe de a (a < 0 ⇒ la droite descend).

Astuce mémo

« a fait l'angle, b fait le départ. » La racine (où f s'annule) est x = −b/a.

Signe de $a$	Comportement de la droite
$a > 0$	croissante (elle monte de gauche à droite)
$a < 0$	décroissante (elle descend)
$a = 0$	constante (droite horizontale, f(x) = b)

Manipule la droite

Fais varier la pente

a

et l'ordonnée

b

: observe le triangle de pente (doré), le point rouge où la droite coupe l'axe vertical (

f (0) = b

) et le point noir où elle croise l'axe horizontal (la racine

x = - b / a

f(x) = 0.8x + 1.0

croissante : a = 0.8

racine : x = -1.25

pente a

ordonnée b

Pente a : positive ⇒ ça monte, négative ⇒ ça descend, nulle ⇒ horizontale. b déplace toute la droite verticalement.

Deux droites ont la même pente a mais des ordonnées à l'origine b différentes. Que peut-on dire d'elles ?Réfléchis puis ouvre ▾

Elles sont parallèles. La pente seule fixe l'inclinaison ;

b

ne fait que translater la droite vers le haut ou le bas. Deux droites sont parallèles ⟺ même

a

; perpendiculaires ⟺

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Une droite passe par

(0; 3)

(2; 7)

. Quelle est son équation ?Facile

Solution détaillée

Pente :

a = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2

. Ordonnée à l'origine :

b = 3

(donné par le point en

x = 0

). Donc

f (x) = 2 x + 3

4Fonction du second degré (parabole)

Quand ça monte ET descend

f (x) = a x^{2} + b x + c

(avec

a \neq = 0

) décrit ce qui a un maximum ou un minimum : la trajectoire d'un projectile, l'aire d'un enclos selon ses dimensions, le profit selon le prix. Son graphe est une parabole, et tout son comportement tient dans un seul nombre : le discriminant.

Discriminant et racines

Δ = b^{2} - 4 a c x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Δ

discriminant—

a, b, c

coefficients de ax²+bx+c—

Quand l'utiliser

Résoudre ax²+bx+c = 0, ou savoir combien de racines réelles existent.

Quand l'éviter

Si l'équation se factorise à vue (ex. x²−9 = 0) : inutile de sortir le discriminant.

Interprétation

Le signe de Δ décide TOUT : Δ>0 ⇒ deux racines, Δ=0 ⇒ une racine double, Δ<0 ⇒ aucune racine réelle (la parabole ne touche pas l'axe).

Piège au concours

Erreur de signe dans −4ac (surtout si c<0), et oublier le ± dans la formule des racines.

Astuce mémo

« delta positif, deux solutions ». Le sommet est toujours en x = −b/2a, sur l'axe de symétrie.

Fais bouger la parabole

Glisse les curseurs

a

b

c

: regarde le discriminant changer de signe et les racines (en rouge) apparaître, fusionner en une racine double, puis disparaître quand

Δ < 0

f(x) = 1x² − 1x − 2Δ > 0

Δ = 9

2 racines

Sommet (0.50 ; -2.25)

x₁ = -1, x₂ = 2

b-1

c-2

Fais varier a (ouverture/sens), b et c : observe le discriminant Δ changer de signe et les racines (points rouges) apparaître ou disparaître. Mets a = 0 : la parabole devient une droite (fonction du premier degré, plus de Δ ni de sommet).

Δ > 0 : deux racines · Δ = 0 : une racine double (le sommet touche l'axe) · Δ < 0 : aucune racine réelle. Le signe de a oriente l'ouverture.

Signe de $Δ$	Racines	Factorisation
$Δ > 0$	Deux racines $x_{1}, x_{2}$	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$	Une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	$a (x - x_{0})^{2}$
$Δ < 0$	Aucune racine réelle	Pas de factorisation réelle

Pour a < 0, la parabole est retournée (ouverte vers le bas) : le sommet est un maximum.

Sans calculer les racines, comment savoir si la parabole y = 2x² − 4x + 5 coupe l'axe horizontal ?Réfléchis puis ouvre ▾

On regarde le signe du discriminant :

Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = - 24 < 0

. Comme

Δ < 0

, il n'y a aucune racine réelle : la parabole ne croise jamais l'axe horizontal (elle reste entièrement au-dessus, car

a > 0

Résous

x^{2} - 5 x + 6 = 0

.Facile

Solution détaillée

Δ = 25 - 24 = 1 > 0

, donc deux racines

x = \frac{5 \pm 1}{2}

x = 2

x = 3

. (Vérification :

2 \cdot 3 = 6 = c

2 + 3 = 5 = - b

Pour quelles valeurs de

m

l'équation

x^{2} + m x + 1 = 0

a-t-elle une racine double ?Niveau concours

Solution détaillée

Racine double ⟺

Δ = 0

. Ici

Δ = m^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^{2} - 4

. On résout

m^{2} - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2

. Pour

m = 2

m = - 2

, la parabole touche l'axe en un seul point.

5Exponentielle et logarithme

La croissance qui s'emballe

L'exponentielle modélise tout ce qui croît proportionnellement à ce qui est déjà là : bactéries qui se divisent, intérêts composés, épidémie en début de vague. La quantité double (ou triple…) à intervalle régulier. Le logarithme est la fonction inverse : il « lit » l'exposant, c'est-à-dire le temps qu'il a fallu.

Croissance exponentielle

N (t) = N_{0} a^{t / T}

N_{0}

quantité initiale (à t = 0)—

a

facteur de multiplication par période—

T

durée d'une période (ex. temps de doublement)temps

Quand l'utiliser

Toute évolution à taux relatif constant : ×a toutes les T unités de temps.

Quand l'éviter

Croissance à pas fixe (+ une même quantité par période) : c'est de l'affine, pas de l'exponentiel.

Interprétation

À chaque période T, on MULTIPLIE par a. Avec a = 2, la population double tous les T ; pour la multiplier par 8 = 2³, il faut 3 périodes.

Piège au concours

Additionner au lieu de multiplier, et confondre ln(a+b) avec ln a + ln b (FAUX).

Astuce mémo

« exponentiel = multiplier ; affine = ajouter ». Le log transforme un produit en somme : ln(xy) = ln x + ln y.

Le réflexe du logarithme

ln x

n'existe que pour

x > 0

. Ses règles :

ln (x y) = ln x + ln y

ln (\frac{x}{y}) = ln x - ln y

ln (x^{n}) = n ln x

. C'est l'outil pour « faire descendre » un exposant et résoudre

a^{t} = b

Vois l'exponentielle décoller

Règle le temps de doublement

T

: plus il est court, plus la courbe verte explose vite. Compare avec la droite grise (croissance linéaire) : l'exponentielle finit toujours par la dépasser, quelle que soit la pente de la droite.

N(t) = N₀ · 2^t/2.5

T = 2.5

après 10 unités: ×16

temps de doublement T

comparer au linéaire

exponentiel (—) vs linéaire (- -)

Chaque trait doré marque un doublement. Diminue T : les doublements se rapprochent et la courbe s'emballe.

Pour le futur médecin

La croissance exponentielle est partout en médecine : nombre de cas au début d'une épidémie (le fameux $R_{0}$ ), prolifération bactérienne, multiplication cellulaire d'une tumeur.

La décroissance exponentielle l'est tout autant : c'est la demi-vie d'un médicament (le temps pour que sa concentration soit divisée par deux) ou d'un isotope radioactif en imagerie. $C (t) = C_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ : après chaque demi-vie, il reste la moitié.

Une population de bactéries double toutes les 20 minutes. Combien de temps pour qu'elle soit multipliée par 8 ?Réfléchis puis ouvre ▾

8 = 2^{3}

: il faut 3 doublements, soit

3 \times 20 = 60

minutes. On a résolu

2^{t /20} = 8

sans calculatrice, juste en reconnaissant une puissance de 2.

Un médicament a une demi-vie de 6 h. Quelle fraction reste-t-il après 24 h ?Intermédiaire

Solution détaillée

24 h =

4 \times 6

h = 4 demi-vies. À chaque demi-vie on divise par 2, donc il reste

(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}

de la dose, soit ≈ 6,25 %.

6Lire et interpréter un graphique

Comprendre vraiment : un graphe raconte une histoire

Avant tout calcul, un graphique se lit. Où la courbe coupe-t-elle les axes ? Monte ou descend ? A-t-elle un sommet ? Ces lectures rapportent des points « gratuits » au concours, sans aucun calcul.

Sur le graphe…	…cela signifie
La courbe coupe l'axe horizontal	une racine : $f (x) = 0$
La courbe coupe l'axe vertical	la valeur initiale $f (0)$
La courbe monte de gauche à droite	la fonction est croissante sur l'intervalle
Un sommet (pic) ou un creux	un extremum : maximum ou minimum
La courbe est au-dessus de l'axe	les valeurs sont positives : $f (x) > 0$

Test de la droite verticale

Une courbe est le graphe d'une fonction ⟺ toute droite verticale la coupe en au plus un point (une seule sortie par entrée).

Parité (symétries utiles)

f (- x) = f (x)

: fonction paire, symétrique par rapport à l'axe vertical (ex.

x^{2}

f (- x) = - f (x)

: impaire, symétrique par rapport à l'origine (ex.

x^{3}

Sur un graphe v(t) en physique, l'aire sous la courbe a un sens. Et sous un graphe de débit (L/min) en fonction du temps ?Réfléchis puis ouvre ▾

C'est la même idée : l'aire sous la courbe d'un débit (L/min) donne le volume total (en litres) écoulé. Lire une aire, c'est « accumuler » la grandeur de l'axe vertical sur la durée, l'idée qui mène tout droit à l'intégrale.

7Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Oublier les conditions du domaine
Pourquoi : on calcule sans vérifier dénominateur/racine/log
toujours exclure ce qui annule un dénominateur, rend une racine négative ou un log ≤ 0.
Confondre pente a et ordonnée b dans ax + b
a = inclinaison (variation par unité) ; b = f(0), point de départ sur l'axe vertical.
Erreur de signe dans Δ = b² − 4ac
Pourquoi : surtout quand c est négatif (−4ac devient positif)
écris chaque terme séparément, attention au produit des signes.
Croire que Δ < 0 ⇒ « pas de solution »
Δ < 0 ⇒ pas de solution RÉELLE ; la parabole ne coupe simplement pas l'axe.
Additionner au lieu de multiplier en exponentiel
à chaque période on MULTIPLIE par a ; +a constant serait de l'affine.
Écrire ln(a + b) = ln a + ln b
FAUX. Le log transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b.
Prendre une courbe pour une fonction sans vérifier
applique le test de la droite verticale : une seule sortie autorisée par entrée.

Points clés à retenir

Fonction = une seule sortie $f (x)$ par entrée $x$ (test de la droite verticale).
Domaine : exclure dénominateur nul, radicande négatif, log ≤ 0 ; prendre l'intersection des conditions.
Affine $f (x) = a x + b$ : droite, pente $a$ , ordonnée $b$ , racine $x = - b / a$ .
Second degré : $Δ = b^{2} - 4 a c$ ⇒ 2 / 1 / 0 racines ; sommet en $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Exponentiel = × $a$ par période (multiplier) ; affine = +constante (ajouter).
Logarithme : défini pour $x > 0$ , transforme produits en sommes, fait « descendre » un exposant.
Demi-vie : décroissance exponentielle, ÷2 à chaque période $T_{1/2}$ (médicaments, radioactivité).

Passe à l'entraînement réel sur ce chapitre

Teste-toi sur 20 questions type examen et obtiens une analyse de tes faiblesses.

Débloquer l'entraînement

Autres chapitres

Algèbre Statistiques descriptives Géométrie plane Calcul vectoriel Trigonométrie Dérivation et intégration