Mathématiques

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Calcul vectoriel

Un vecteur porte à la fois une direction, un sens et une intensité (sa norme). C'est l'outil indispensable de la physique, forces, vitesses, champs, là où un simple nombre (un scalaire) ne suffit pas. Bien le maîtriser ici fait gagner énormément de points en cinématique, en dynamique et en électromagnétisme.

1Scalaire ou vecteur ?

L'intuition d'abord

« 5 km » ne dit pas où tu vas : c'est un scalaire (un nombre seul). « 5 km vers le nord » fixe aussi la direction : c'est un vecteur. La température, la masse, le temps sont des scalaires ; la vitesse, la force, le déplacement sont des vecteurs.

Grandeur	Type	Ce qu'elle porte
Masse, température, temps	scalaire	un nombre (+ unité)
Déplacement, vitesse, force	vecteur	nombre + direction + sens

« La voiture roule à 50 km/h » et « la voiture roule à 50 km/h vers l'est » : laquelle décrit un vecteur ?Réfléchis puis ouvre ▾

La seconde. La première donne seulement la vitesse scalaire (le module). La seconde ajoute la direction : c'est le vecteur vitesse. En physique, deux mouvements à « 50 km/h » dans des directions différentes sont bel et bien différents.

Vérifie que tu as compris

Qu'est-ce qui distingue un vecteur d'un scalaire ?Réfléchis puis ouvre ▾

Un scalaire est un simple nombre ; un vecteur porte en plus une directionet un sens.

La masse est-elle un vecteur ou un scalaire ?Réfléchis puis ouvre ▾

Un scalaire : elle n'a pas de direction. La force, elle, est un vecteur.

« 50 km/h » suffit-il à définir un vecteur vitesse ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : il manque la direction. « 50 km/h vers l'est » définit le vecteur.

2Composantes et norme

Repérer un vecteur par des nombres

Dans un repère, un vecteur du plan se résume à ses deux composantes :

v = (x, y)

(combien il avance horizontalement, combien verticalement). Sa norme (sa longueur) se calcule par… Pythagore.

Norme d'un vecteur

∥ v ∥ = x^{2} + y^{2}

v

vecteur de composantes (x, y)—

∥ v ∥

norme (longueur, intensité)même que les composantes

Quand l'utiliser

Pour obtenir l'intensité (module) d'un vecteur à partir de ses composantes.

Quand l'éviter

Pour additionner deux vecteurs : on travaille composante par composante, pas sur les normes.

Interprétation

C'est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les composantes x et y.

Piège au concours

Additionner directement les normes de plusieurs vecteurs (faux sauf s'ils sont alignés et de même sens).

Astuce mémo

« norme = Pythagore sur les composantes ». √(x² + y²).

Un vecteur a pour composantes (3 ; 4). Quelle est sa norme ?Réfléchis puis ouvre ▾

∥ v ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

. Encore le triangle 3-4-5 ! Les composantes sont les deux côtés de l'angle droit, la norme est l'hypoténuse.

Le vecteur entre deux points

À partir de deux points repérés $A (x_{A}, y_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B})$ , le vecteur $A B$ se lit directement : ses composantes sont les écarts de coordonnées (« arrivée moins départ »).

Composantes du vecteur AB

A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})

A

point de départ (origine du vecteur)—

B

point d'arrivée (extrémité)—

Quand l'utiliser

Pour obtenir un vecteur à partir des coordonnées de deux points, ou une distance AB = ‖AB‖.

Quand l'éviter

Si le vecteur est déjà donné par ses composantes : inutile de repasser par des points.

Interprétation

On soustrait « arrivée moins départ » : la norme ‖AB‖ redonne alors la distance entre A et B (un Pythagore).

Piège au concours

Inverser l'ordre (départ moins arrivée) : on obtient le vecteur OPPOSÉ, BA = −AB.

Astuce mémo

« arrivée moins départ » : B − A. Et ‖AB‖ = distance AB.

Relation de Chasles

A B + B C = A C

En enchaînant deux vecteurs « bout à bout » (l'arrivée du premier est le départ du second), on obtient le vecteur direct du tout premier départ à la toute dernière arrivée. Le point intermédiaire $B$ « se simplifie ». C'est la règle qui permet de recombiner des vecteurs dans les questions d'examen (égalités vectorielles sur une figure).

On donne A(1 ; 1) et B(3 ; 2). Quelle est la norme du vecteur

3 A B

?Réfléchis puis ouvre ▾

D'abord

A B = (3 - 1, 2 - 1) = (2, 1)

, de norme

2^{2} + 1^{2} = 5

. En multipliant par 3, la norme est multipliée par

∣3∣

∥3 A B ∥ = 35

. (Vraie question d'examen d'entrée : on ne multiplie pas la norme au hasard, on utilise

∥ k v ∥ = ∣ k ∣ ∥ v ∥

Vérifie que tu as compris

Comment calcule-t-on la norme d'un vecteur (x ; y) ?Réfléchis puis ouvre ▾

∥ v ∥ = x^{2} + y^{2}

: c'est un Pythagore sur les composantes.

Quelles sont les composantes du vecteur AB ?Réfléchis puis ouvre ▾

A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})

, soit « arrivée moins départ ».

Que dit la relation de Chasles ?Réfléchis puis ouvre ▾

A B + B C = A C

: le point intermédiaire se simplifie.

3Addition de vecteurs

Mettre bout à bout, ou la diagonale

Additionner deux vecteurs, c'est les enchaîner « bout à bout » (relation de Chasles), ou tracer la diagonale du parallélogramme qu'ils forment. En composantes, c'est encore plus simple : on additionne composante par composante.

Somme en composantes

(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})

(x_{1}, y_{1})

premier vecteur—

(x_{2}, y_{2})

second vecteur—

Quand l'utiliser

Pour combiner des forces, des vitesses, des déplacements donnés en composantes.

Quand l'éviter

Si on n'a que les normes et l'angle : passer par les composantes (cos / sin) d'abord.

Interprétation

Chaque axe est indépendant : les x s'ajoutent entre eux, les y entre eux.

Piège au concours

Ajouter les normes au lieu des composantes.

Astuce mémo

« x avec x, y avec y ». Jamais norme + norme.

(3, 1)

(1, 3)

u + v

(4, 4)

‖u+v‖ = 5.66 · produit scalaire u·v = 6

ux3y1

vx1y3

Déplace les composantes de u (bleu) et v (rouge) : la somme (dorée) est la diagonale du parallélogramme.

Peut-on avoir ‖u + v‖ < ‖u‖ + ‖v‖ ? Et l'égalité, quand ?Réfléchis puis ouvre ▾

Oui, presque toujours :

∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥

(inégalité triangulaire). L'égalité n'a lieu que si

u

v

sont de même sens. S'ils sont de sens opposés, la somme peut même être plus courte que chacun. C'est pourquoi on n'additionne jamais les normes à l'aveugle.

Calcule

(2, 3) + (4, - 1)

puis la norme du résultat.Facile

Solution détaillée

Somme :

(2 + 4, 3 - 1) = (6, 2)

. Norme :

6^{2} + 2^{2} = 40 = 210 \approx 6, 3

Vérifie que tu as compris

Comment additionne-t-on deux vecteurs en composantes ?Réfléchis puis ouvre ▾

Composante par composante :

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})

, jamais norme + norme.

Que dit l'inégalité triangulaire ?Réfléchis puis ouvre ▾

∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥

, avec égalité seulement si les deux vecteurs sont de même sens.

Géométriquement, la somme de deux vecteurs est… ?Réfléchis puis ouvre ▾

La diagonale du parallélogramme qu'ils forment (ou l'enchaînement bout à bout).

Pour le futur médecin

La traction orthopédique est une addition de vecteurs installée au lit du patient : on tire sur un membre par plusieurs câbles et poulies, et ce qui agit réellement sur l'os est la résultante des tensions. Déplacer une poulie ne change pas les tensions exercées, mais change la direction et la norme de cette résultante, donc l'axe selon lequel l'os est réaligné.

Même logique pour les muscles : plusieurs faisceaux tirent sur un même tendon selon des directions différentes, et la force utile est leur somme vectorielle. L'inégalité triangulaire dit alors quelque chose de très concret : la force développée par l'ensemble est toujours $\leq$ la somme des forces de chaque faisceau, et elle n'atteint ce maximum que si tous tirent exactement dans le même sens.

4Multiplication par un scalaire

Multiplier un vecteur par un nombre $k$ en change la longueur (et le sens si $k < 0$ ), mais pas la direction.

k (x, y) = (k x, k y) ∥ k v ∥ = ∣ k ∣ ∥ v ∥

k > 1 allonge, 0 < k < 1 raccourcit, k < 0 inverse le sens.

Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires (même direction) s'il existe

k

tel que

v = k u

Vecteur unitaire

En divisant un vecteur par sa norme, on obtient un vecteur de longueur 1 (même direction) :

\overset{u}{^} = \frac{u}{∥ u ∥}

Vérifie que tu as compris

Multiplier un vecteur par k < 0 change quoi ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le sens (il s'inverse) et la longueur, mais pas la direction.

Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?Réfléchis puis ouvre ▾

Quand il existe

k

tel que

v = k u

: ils ont la même direction.

Comment obtient-on un vecteur unitaire à partir de u ?Réfléchis puis ouvre ▾

On divise par sa norme :

\overset{u}{^} = \frac{u}{∥ u ∥}

, de longueur 1.

5Le produit scalaire

Mesurer l'alignement

Le produit scalaire répond à la question « ces deux vecteurs pointent-ils dans la même direction ? ». Il renvoie un nombre (un scalaire), positif si même sens, négatif si sens opposés, nul si perpendiculaires.

Produit scalaire

u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ

θ

angle entre les deux vecteursrad ou °

u \cdot v

résultat : un scalaire—

Quand l'utiliser

Pour tester la perpendicularité, projeter un vecteur, ou calculer un travail en physique.

Quand l'éviter

Si on cherche un vecteur résultat (rotation, aire orientée) : ce n'est pas le produit scalaire.

Interprétation

Il vaut |u||v|cos θ : maximal si alignés (θ = 0), nul si perpendiculaires (θ = 90°), négatif au-delà.

Piège au concours

Croire que le produit scalaire est un vecteur : c'est un NOMBRE.

Astuce mémo

« produit scalaire nul ⇔ perpendiculaires ». Calcul rapide : x₁x₂ + y₁y₂.

u · v = |u||v|cos θ = 6.88

même sens (u·v > 0)

angle θ55°

Le trait doré est la projection de v sur u : elle (et donc u·v) s'annule pile à 90° et change de signe au-delà.

Tourne v autour de u : le produit scalaire u·v est maximal quand ils sont alignés, s'annule pile à 90° (perpendiculaires), et devient négatif quand l'angle dépasse 90°.

Si…	Alors les vecteurs sont…
$u \cdot v = 0$	perpendiculaires
$u \cdot v > 0$	globalement de même sens (angle aigu)
$u \cdot v < 0$	globalement de sens opposés (angle obtus)
$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$	colinéaires (déterminant nul)

Pour le futur médecin

Le produit scalaire est l'âme du travail en physique :

W = F \cdot d

. Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas (

cos 9 0^{\circ} = 0

), c'est pourquoi porter un sac à l'horizontale ne « coûte » aucun travail mécanique au sens physique, même si le muscle, lui, se fatigue. La même idée gouverne l'orientation des forces en biomécanique articulaire.

Les vecteurs

(2, 3)

(- 3, 2)

sont-ils perpendiculaires ?Intermédiaire

Solution détaillée

u \cdot v = 2 \cdot (- 3) + 3 \cdot 2 = - 6 + 6 = 0

. Produit scalaire nul ⇒ oui, ils sont perpendiculaires.

Vérifie que tu as compris

Le produit scalaire donne-t-il un vecteur ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : c'est un nombre,

x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ

Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ?Réfléchis puis ouvre ▾

Zéro :

cos 9 0^{\circ} = 0

. C'est le test de perpendicularité.

Un produit scalaire négatif signale quel angle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Un angle obtus (les vecteurs pointent globalement en sens opposés).

6Décomposer un vecteur (comprendre vraiment)

Le truc qui débloque toute la physique

Un vecteur oblique se décompose en deux composantes perpendiculaires : une horizontale

v cos θ

et une verticale

v sin θ

. C'est exactement ce qui permet de traiter un tir oblique, un plan incliné ou une force quelconque : on remplace un problème compliqué par deux problèmes simples et indépendants.

v = (v cos θ, v sin θ)

θ = angle du vecteur avec l'horizontale ; v = norme.

θ = 35°

v·cos θcos θ =0.82

v·sin θsin θ =0.57

Le vecteur v (or) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; sa composante horizontale (bleu) est le côté ADJACENT à θ, sa composante verticale (rouge) le côté OPPOSÉ. Fais varier θ.

Pourquoi v·cos θ et v·sin θ ? → SOH-CAH-TOA

Projette le vecteur sur les deux axes : tu obtiens un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le vecteur (longueur $v$ ), et dont les deux côtés de l'angle droit sont exactement les composantes. L'angle $θ$ est au coin de départ, donc :

• la composante horizontale est le côté adjacentà $θ$ → $cos θ = \frac{adj}{hyp} = \frac{v _{x}}{v}$ , d'où $v_{x} = v cos θ$ .

• la composante verticale est le côté opposé à $θ$ → $sin θ = \frac{opp}{hyp} = \frac{v _{y}}{v}$ , d'où $v_{y} = v sin θ$ .

C'est SOH-CAH-TOA appliqué au triangle (composante horizontale, composante verticale, vecteur). ⚠️ Le $cos$ va toujours avec le côté le long de l'angle, le $sin$ avec le côté qui s'en éloigne.

Une force de 10 N tire à 30° au-dessus de l'horizontale. Quelle est sa composante horizontale ?Réfléchis puis ouvre ▾

F_{x} = F cos 3 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} \approx 8, 7

N. La composante verticale serait

F_{y} = 10 sin 3 0^{\circ} = 5

N. On a séparé la force unique en deux effets perpendiculaires, la clé de presque tous les exercices de mécanique.

Un objet est tiré par deux forces : 6 N vers l'est et 8 N vers le nord. Quelle est l'intensité de la force résultante ?Niveau concours

Solution détaillée

Les deux forces sont perpendiculaires, donc la résultante a pour norme

6^{2} + 8^{2} = 100 = 10

N. (Pythagore sur les composantes : encore le 6-8-10.) Sa direction fait un angle

arctan (8/6) \approx 5 3^{\circ}

au nord de l'est.

Vérifie que tu as compris

En quoi décompose-t-on un vecteur oblique ?Réfléchis puis ouvre ▾

En deux composantes perpendiculaires :

v cos θ

(horizontale) et

v sin θ

(verticale).

La composante le long de l'axe de l'angle utilise cos ou sin ?Réfléchis puis ouvre ▾

cos : c'est le côté adjacent à

θ

(

v_{x} = v cos θ

Pourquoi décomposer simplifie-t-il un problème de mécanique ?Réfléchis puis ouvre ▾

Il remplace un problème par deux problèmes indépendants sur des axes perpendiculaires.

Pour le futur médecin

La biomécanique du dos est un exercice de décomposition. Le poids du tronc s'applique sur un disque intervertébral dont le plateau est incliné : la composante perpendiculaire au disque le comprime, la composante parallèle le cisaille. Quand on se penche en avant, l'angle du plateau augmente, donc la part de cisaillement augmente aussi. C'est la raison mécanique pour laquelle soulever une charge dos courbé sollicite le disque bien plus que dos droit.

La même décomposition explique l'action d'un muscle sur une articulation : une composante fait tourner le segment (composante motrice), l'autre plaque la tête osseuse dans sa cavité (composante stabilisatrice). Selon l'angle de l'articulation, le même muscle est surtout moteur ou surtout stabilisateur.

7Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Additionner les normes au lieu des composantes
Pourquoi : ‖u+v‖ ≠ ‖u‖+‖v‖ en général
additionner composante par composante, puis calculer la norme du résultat.
Confondre scalaire et vecteur
une vitesse « 50 km/h » est un scalaire ; « 50 km/h vers l'est » est un vecteur.
Croire que le produit scalaire est un vecteur
u·v est un NOMBRE ; il vaut x₁x₂ + y₁y₂ = |u||v|cos θ.
Oublier le carré dans la norme
‖v‖ = √(x² + y²) : c'est un Pythagore, pas |x| + |y|.
Décomposer avec sin et cos inversés
composante le long de l'axe de l'angle = v·cos θ ; perpendiculaire = v·sin θ.
Tester la perpendicularité avec le déterminant
perpendiculaires ⇔ produit scalaire = 0 ; déterminant = 0 ⇔ colinéaires (à ne pas confondre).
Calculer AB en « départ moins arrivée »
Pourquoi : on inverse l'ordre
AB = (x_B − x_A, y_B − y_A), soit « arrivée moins départ » ; l'ordre inverse donne BA = −AB.
Multiplier une norme au lieu d'utiliser |k|·‖v‖
‖k·v‖ = |k|·‖v‖ : la norme est multipliée par la VALEUR ABSOLUE du scalaire.

Points clés à retenir

Scalaire = un nombre ; vecteur = nombre + direction + sens.
Norme = Pythagore sur les composantes : $∥ v ∥ = x^{2} + y^{2}$ .
Vecteur entre deux points : $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ (arrivée − départ) ; Chasles $A B + B C = A C$ .
On additionne composante par composante, jamais les normes (inégalité triangulaire).
Produit scalaire : $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ$ (un nombre).
Perpendiculaires ⇔ produit scalaire nul ; colinéaires ⇔ déterminant $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .
Décomposition : $v = (v cos θ, v sin θ)$ , la clé du tir oblique et du plan incliné.
Travail en physique : $W = F \cdot d$ ; une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.

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