Mathématiques

Gratuit

Trigonométrie

La trigonométrie relie les angles aux longueurs. Tout part d'une seule idée géniale : enrouler les angles autour d'un cercle de rayon 1. Une fois cette image en tête, sinus, cosinus et tangente deviennent évidents, et la majorité des questions du concours se résolvent sans calculatrice, juste avec le cercle et quelques valeurs remarquables.

1Le cercle trigonométrique

Pourquoi un cercle ?

Un angle, c'est une ouverture ; une longueur, c'est une distance. Pour les relier, on place l'angle au centre d'un cercle de rayon 1 : la position du point sur le cercle traduit l'angle en deux coordonnées. Ces coordonnées sont le cosinus et le sinus.

Définition cosinus / sinus

P (θ) = (cos θ, sin θ)

θ

angle depuis l'axe horizontal (sens anti-horaire)rad ou °

cos θ

abscisse du point P (horizontale)—

sin θ

ordonnée du point P (verticale)—

Quand l'utiliser

Pour relier un angle à des coordonnées, et pour comprendre les signes selon le quadrant.

Quand l'éviter

Pour des rapports de côtés dans un triangle concret : utiliser SOH-CAH-TOA (section 2).

Interprétation

Le point tourne sur le cercle de rayon 1 ; cos = combien il va à droite, sin = combien il monte.

Piège au concours

Inverser cos et sin : cos est l'horizontale (x), sin la verticale (y).

Astuce mémo

« coSinus = côté Couché (horizontal) ». Et comme R = 1 : −1 ≤ cos, sin ≤ 1 toujours.

Degrés et radians

On mesure les angles en degrés (un tour = $36 0^{\circ}$ ) ou en radians, où un tour vaut $2 π$ . Le radian est la mesure « naturelle » : un angle de 1 rad intercepte un arc de longueur égale au rayon.

18 0^{\circ} = π rad ⟹ θ_{rad} = θ_{d e g} \times \frac{π}{180}

Pour convertir : multiplie par π/180 (deg → rad) ou par 180/π (rad → deg).

angle

30°

0.524 rad

cos θ

0.866

sin θ

0.5

tan θ = sin/cos

0.577

Aimanter aux angles remarquables (0, 30, 45, 60, 90…)

Le point sur le cercle a pour coordonnées (cos θ ; sin θ). Déplace le curseur pour voir comment elles évoluent, c'est toute la trigonométrie en une image.

Déplace le curseur : le point parcourt le cercle, et tu vois cos θ (horizontal) et sin θ (vertical) varier en direct, toujours entre −1 et 1.

Un calcul te donne sin θ = 1,4. Sans rien recalculer, que peux-tu affirmer ?Réfléchis puis ouvre ▾

C'est impossible : le point reste sur un cercle de rayon 1, donc son ordonnée (le sinus) est forcément entre

- 1

1

. Une valeur hors de cet intervalle signale une erreur de calcul, un excellent réflexe de vérification à l'examen.

2Sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

Des rapports de côtés

Dans un triangle rectangle, les trois nombres trigonométriques sont de simples rapports de longueurs. La mnémonique SOH-CAH-TOA dit tout : Sin = Opposé /Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé /Adjacent.

SOH-CAH-TOA

sin θ = \frac{opp}{hyp} cos θ = \frac{adj}{hyp} tan θ = \frac{opp}{adj} = \frac{sin θ}{cos θ}

opp

côté opposé à l'angle θlongueur

adj

côté adjacent à θ (touche l'angle)longueur

hyp

hypoténuse (face à l'angle droit)longueur

Quand l'utiliser

Pour trouver un côté ou un angle dans un triangle RECTANGLE.

Quand l'éviter

Triangle quelconque (non rectangle) : utiliser les lois des sinus / cosinus (section 6).

Interprétation

Chaque rapport ne dépend QUE de l'angle, pas de la taille du triangle : deux triangles semblables ont les mêmes sin, cos, tan.

Piège au concours

Se tromper d'opposé/adjacent : l'opposé ne touche pas l'angle θ, l'adjacent le touche (hors hypoténuse).

Astuce mémo

SOH-CAH-TOA. Et tan = sin/cos toujours.

θ = 35°

sin θopposé/hypoténuse0.574

cos θadjacent/hypoténuse0.819

tan θopposé/adjacent0.700

angle θ

Fais varier l'angle θ : l'opposé (rouge) et l'adjacent (bleu) changent, et les trois rapports sin/cos/tan se mettent à jour. Remarque : sin et cos restent ≤ 1, mais tan peut dépasser 1.

Pour le futur médecin

La trigonométrie structure beaucoup d'outils cliniques : l'axe électrique du cœur sur un ECG se calcule comme l'angle d'un vecteur à partir de projections (cos/sin) ; en échographie Doppler, la vitesse mesurée du sang dépend du

cos

de l'angle entre la sonde et le vaisseau ; la goniométrie mesure les angles articulaires en rééducation.

Deux triangles rectangles ont le même angle θ mais des tailles très différentes. Leurs sinus sont-ils égaux ?Réfléchis puis ouvre ▾

Oui, exactement égaux. Le sinus est un rapport de côtés : si on agrandit le triangle, opposé et hypoténuse grandissent dans la même proportion, et leur quotient ne change pas. La trigonométrie ne dépend que de la forme (l'angle), pas de la taille.

Dans un triangle rectangle, l'opposé à

θ

mesure 3 et l'hypoténuse 5. Calcule

sin θ

, puis

cos θ

si l'adjacent vaut 4.Facile

Solution détaillée

sin θ = \frac{3}{5} = 0, 6

;

cos θ = \frac{4}{5} = 0, 8

;

tan θ = \frac{3}{4} = 0, 75

. (C'est le fameux triangle 3-4-5.)

3Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

L'astuce du « √n / 2 »

Pour le sinus de

0, 30, 45, 60, 9 0^{\circ}

, écris simplement

\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}

, soit

0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1

. Le cosinus, c'est la même liste à l'envers. Une seule chose à retenir !

Angle	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Cas 90° : sin = 1, cos = 0, et tan(90°) n'existe pas (division par cos = 0).

Pourquoi tan(90°) n'est-elle pas définie ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

et qu'en

9 0^{\circ}

on a

cos 9 0^{\circ} = 0

: on diviserait par zéro. Géométriquement, le côté adjacent devient nul, donc le rapport opposé/adjacent « explose » vers l'infini.

4Angles associés (les symétries)

Par symétrie sur le cercle, les angles « voisins » se déduisent les uns des autres. Inutile de tout mémoriser : visualise la symétrie sur le cercle de rayon 1.

Relation	$sin$	$cos$	Idée géométrique
Opposé $(- θ)$	$- sin θ$	$cos θ$	symétrie / axe horizontal
Supplémentaire $(π - θ)$	$sin θ$	$- cos θ$	symétrie / axe vertical
Complémentaire $(\frac{π}{2} - θ)$	$cos θ$	$sin θ$	sin et cos s'échangent

Le sens caché de « co-sinus »

Le complémentaire échange sinus et cosinus :

sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ

. C'est littéralement pourquoi on dit « co-sinus » = « sinus du complémentaire ».

5Les identités fondamentales

Identité de Pythagore trigonométrique

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

sin θ

ordonnée du point sur le cercle—

cos θ

abscisse du point sur le cercle—

Quand l'utiliser

Pour passer de sin à cos (ou l'inverse) quand on connaît l'un et le quadrant.

Quand l'éviter

Pour additionner deux angles différents : utiliser les formules d'addition.

Interprétation

C'est Pythagore appliqué au triangle de côtés cos θ et sin θ dans le cercle de rayon 1 : la somme des carrés des côtés = carré de l'hypoténuse = 1.

Piège au concours

Oublier le carré, ou se tromper de signe pour la racine (le quadrant décide du signe de sin/cos).

Astuce mémo

« sin² + cos² = 1 », la reine des identités : elle sort à presque chaque examen.

Formules d'addition et de duplication

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b

cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b

sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} θ

En posant a = b, on obtient les formules de duplication.

cos θ = \frac{3}{5}

avec

θ

aigu, calcule

sin θ

puis

sin (2 θ)

.Intermédiaire

Solution détaillée

sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

, donc

sin θ = \frac{4}{5}

(positif car aigu). Puis

sin (2 θ) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

6Trigonométrie dans un triangle quelconque

Au-delà du triangle rectangle

SOH-CAH-TOA exige un angle droit. Pour un triangle quelconque, deux lois généralisent Pythagore et permettent de tout calculer dès qu'on a assez de données.

Loi des cosinus (Al-Kashi)

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

L'angle α est encadré par les côtés b et c ; le côté a (en rouge) lui est opposé. La formule calcule ce côté opposé. Quand $α = 9 0^{\circ}$ , $cos α = 0$ : on retrouve Pythagore.

Loi des sinus

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Chaque côté est opposé à l'angle de même couleur : a↔α, b↔β, c↔γ. Chaque rapport côté/sinus de l'angle opposé est le même. Utile quand on connaît un angle et son côté opposé.

Aire d'un triangle quelconque

A = \frac{1}{2} a b sin γ

: deux côtés et l'angle entreeux. Cas rectangle (

γ = 9 0^{\circ}

sin = 1

) : on retombe sur

\frac{1}{2} base \times hauteur

Un triangle a deux côtés de 5 et 8 formant un angle de 60°. Quelle est son aire ?Niveau concours

Solution détaillée

A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 103 \approx 17, 3

. On utilise « deux côtés et l'angle entre eux », pas besoin de la hauteur.

7Équations trigonométriques

Combien de solutions ?

Résoudre

sin θ = k

, c'est chercher tous les points du cercle dont l'ordonnéevaut

k

. En général, il y en a deux par tour, l'erreur classique est de n'en donner qu'un.

Exemple

sin θ = \frac{1}{2}

sur

[0^{\circ}, 36 0^{\circ} [

: le sinus vaut 1/2 en

θ = 3 0^{\circ}

ET en son supplémentaire

θ = 15 0^{\circ}

. Donc deux solutions.

Combien de solutions l'équation cos θ = −½ a-t-elle sur [0°, 360°[ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Deux :

θ = 12 0^{\circ}

θ = 24 0^{\circ}

. Ce sont les deux points du cercle d'abscisse

- \frac{1}{2}

, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Pense toujours au « jumeau » symétrique.

Résous

2 sin θ - 1 = 0

sur

[0^{\circ}, 36 0^{\circ} [

.Intermédiaire

Solution détaillée

sin θ = \frac{1}{2}

⇒

θ = 3 0^{\circ}

θ = 15 0^{\circ}

(le supplémentaire). Deux solutions.

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Accepter sin ou cos hors de [−1 ; 1]
Pourquoi : erreur de calcul non détectée
le point est sur un cercle de rayon 1 : sin et cos sont TOUJOURS entre −1 et 1.
Confondre opposé et adjacent
l'adjacent touche l'angle θ (hors hypoténuse) ; l'opposé est en face de θ.
Mélanger degrés et radians
Pourquoi : calculatrice ou formule dans le mauvais mode
convertir avec π/180 ; vérifier le mode (DEG/RAD) avant tout calcul.
Ne donner qu'une solution à sin θ = k
sur un tour il y a en général DEUX solutions ; ajouter le supplémentaire (sin) ou le symétrique (cos).
Écrire sin(a + b) = sin a + sin b
FAUX. Utiliser sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.
Oublier que tan(90°) n'existe pas
cos(90°) = 0 ⇒ division par zéro ; la tangente n'est pas définie.
Utiliser SOH-CAH-TOA dans un triangle non rectangle
sans angle droit, passer aux lois des sinus / cosinus.

Points clés à retenir

Sur le cercle de rayon 1, un point a pour coordonnées $(cos θ, sin θ)$ ; donc $- 1 \leq sin, cos \leq 1$ .
SOH-CAH-TOA : $sin = \frac{o}{h}$ , $cos = \frac{a}{h}$ , $tan = \frac{o}{a} = \frac{s i n}{c o s}$ .
Les rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle.
Connais par cœur le tableau 0/30/45/60/90° (astuce $n /2$ ).
Identité reine : $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ .
Triangle quelconque : Al-Kashi ( $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$ ), loi des sinus, aire $= \frac{1}{2} ab sin γ$ .
$sin θ = k$ a en général deux solutions par tour, n'en oublie pas une.

Passe à l'entraînement réel sur ce chapitre

Teste-toi sur 20 questions type examen et obtiens une analyse de tes faiblesses.

Débloquer l'entraînement

Autres chapitres

Algèbre Statistiques descriptives Géométrie plane Calcul vectoriel Fonctions Dérivation et intégration