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Trigonométrie

La trigonométrie relie les angles aux longueurs. Tout part d'une seule idée géniale : enrouler les angles autour d'un cercle de rayon 1. Une fois cette image en tête, sinus, cosinus et tangente deviennent évidents, et la majorité des questions du concours se résolvent sans calculatrice, juste avec le cercle et quelques valeurs remarquables.

1Le cercle trigonométrique

Pourquoi un cercle ?

Un angle, c'est une ouverture ; une longueur, c'est une distance. Pour les relier, on place l'angle au centre d'un cercle de rayon 1 : la position du point sur le cercle traduit l'angle en deux coordonnées. Ces coordonnées sont le cosinus et le sinus.

Définition cosinus / sinus

P (θ) = (cos θ, sin θ)

θ

angle depuis l'axe horizontal (sens anti-horaire)rad ou °

cos θ

abscisse du point P (horizontale)—

sin θ

ordonnée du point P (verticale)—

Quand l'utiliser

Pour relier un angle à des coordonnées, et pour comprendre les signes selon le quadrant.

Quand l'éviter

Pour des rapports de côtés dans un triangle concret : utiliser SOH-CAH-TOA (section 2).

Interprétation

Le point tourne sur le cercle de rayon 1 ; cos = combien il va à droite, sin = combien il monte.

Piège au concours

Inverser cos et sin : cos est l'horizontale (x), sin la verticale (y).

Astuce mémo

« coSinus = côté Couché (horizontal) ». Et comme R = 1 : −1 ≤ cos, sin ≤ 1 toujours.

Degrés et radians

On mesure les angles en degrés (un tour = $36 0^{\circ}$ ) ou en radians, où un tour vaut $2 π$ . Le radian est la mesure « naturelle » : un angle de 1 rad intercepte un arc de longueur égale au rayon.

18 0^{\circ} = π rad ⟹ θ_{rad} = θ_{d e g} \times \frac{π}{180}

Pour convertir : multiplie par π/180 (deg → rad) ou par 180/π (rad → deg).

angle

30°

0.524 rad

cos θ

0.866

sin θ

0.5

tan θ = sin/cos

0.577

Aimanter aux angles remarquables (0, 30, 45, 60, 90…)

Le point sur le cercle a pour coordonnées (cos θ ; sin θ). Déplace le curseur pour voir comment elles évoluent, c'est toute la trigonométrie en une image.

Déplace le curseur : le point parcourt le cercle, et tu vois cos θ (horizontal) et sin θ (vertical) varier en direct, toujours entre −1 et 1.

Un calcul te donne sin θ = 1,4. Sans rien recalculer, que peux-tu affirmer ?Réfléchis puis ouvre ▾

C'est impossible : le point reste sur un cercle de rayon 1, donc son ordonnée (le sinus) est forcément entre

- 1

1

. Une valeur hors de cet intervalle signale une erreur de calcul, un excellent réflexe de vérification à l'examen.

Vérifie que tu as compris

Que représentent géométriquement cos θ et sin θ sur le cercle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Les coordonnées du point associé à l'angle :

cos θ

est l'abscisse (horizontale) et

sin θ

l'ordonnée (verticale), sur le cercle de rayon 1.

Combien vaut un tour complet en radians ?Réfléchis puis ouvre ▾

2 π

radians, soit

36 0^{\circ}

. D'où la relation de base

18 0^{\circ} = π

rad.

Pour convertir 90° en radians, que fais-tu ?Réfléchis puis ouvre ▾

On multiplie par

\frac{π}{180}

90 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{2}

rad.

Pour le futur médecin

Le corps humain est un empilement de phénomènes périodiques, et le cercle trigonométrique en est le bon modèle : un tour du cercle = un cycle complet. Un pouls à 60 battements par minute correspond à une période $T = 1$ s et une fréquence $f = 1$ Hz ; à 90 battements par minute, $T = \frac{60}{90} \approx 0, 67$ s.

Cycle respiratoire, rythme circadien sur 24 h, onde de pression artérielle : tous se décrivent avec les trois grandeurs que ce cercle rend visibles, la période, la fréquence et la phase. En échographie, l'image elle-même est reconstruite à partir d'ondes ultrasonores dont l'appareil suit la phase.

2Sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

Des rapports de côtés

Dans un triangle rectangle, les trois nombres trigonométriques sont de simples rapports de longueurs. La mnémonique SOH-CAH-TOA dit tout : Sin = Opposé /Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé /Adjacent.

SOH-CAH-TOA

sin θ = \frac{opp}{hyp} cos θ = \frac{adj}{hyp} tan θ = \frac{opp}{adj} = \frac{sin θ}{cos θ}

opp

côté opposé à l'angle θlongueur

adj

côté adjacent à θ (touche l'angle)longueur

hyp

hypoténuse (face à l'angle droit)longueur

Quand l'utiliser

Pour trouver un côté ou un angle dans un triangle RECTANGLE.

Quand l'éviter

Triangle quelconque (non rectangle) : utiliser les lois des sinus / cosinus (section 6).

Interprétation

Chaque rapport ne dépend QUE de l'angle, pas de la taille du triangle : deux triangles semblables ont les mêmes sin, cos, tan.

Piège au concours

Se tromper d'opposé/adjacent : l'opposé ne touche pas l'angle θ, l'adjacent le touche (hors hypoténuse).

Astuce mémo

SOH-CAH-TOA. Et tan = sin/cos toujours.

θ = 35°

sin θopposé/hypoténuse0.574

cos θadjacent/hypoténuse0.819

tan θopposé/adjacent0.700

angle θ

Fais varier l'angle θ : l'opposé (rouge) et l'adjacent (bleu) changent, et les trois rapports sin/cos/tan se mettent à jour. Remarque : sin et cos restent ≤ 1, mais tan peut dépasser 1.

Pour le futur médecin

La trigonométrie structure beaucoup d'outils cliniques : l'axe électrique du cœur sur un ECG se calcule comme l'angle d'un vecteur à partir de projections (cos/sin) ; en échographie Doppler, la vitesse mesurée du sang dépend du

cos

de l'angle entre la sonde et le vaisseau ; la goniométrie mesure les angles articulaires en rééducation.

Deux triangles rectangles ont le même angle θ mais des tailles très différentes. Leurs sinus sont-ils égaux ?Réfléchis puis ouvre ▾

Oui, exactement égaux. Le sinus est un rapport de côtés : si on agrandit le triangle, opposé et hypoténuse grandissent dans la même proportion, et leur quotient ne change pas. La trigonométrie ne dépend que de la forme (l'angle), pas de la taille.

Dans un triangle rectangle, l'opposé à

θ

mesure 3 et l'hypoténuse 5. Calcule

sin θ

, puis

cos θ

si l'adjacent vaut 4.Facile

Solution détaillée

sin θ = \frac{3}{5} = 0, 6

;

cos θ = \frac{4}{5} = 0, 8

;

tan θ = \frac{3}{4} = 0, 75

. (C'est le fameux triangle 3-4-5.)

Vérifie que tu as compris

Dans SOH-CAH-TOA, à quoi correspond le « A » de CAH ?Réfléchis puis ouvre ▾

Au côté adjacent :

cos θ = \frac{adj}{hyp}

. L'adjacent touche l'angle

θ

(ce n'est pas l'hypoténuse).

Comment exprimer la tangente à partir du sinus et du cosinus ?Réfléchis puis ouvre ▾

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

, ce qui vaut aussi le rapport opposé/adjacent.

SOH-CAH-TOA marche-t-il dans n'importe quel triangle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non, uniquement dans un triangle rectangle. Sans angle droit, on passe aux lois des sinus et des cosinus.

3Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

L'astuce du « √n / 2 »

Pour le sinus de

0, 30, 45, 60, 9 0^{\circ}

, écris simplement

\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}

, soit

0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1

. Le cosinus, c'est la même liste à l'envers. Une seule chose à retenir !

Angle	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Cas 90° : sin = 1, cos = 0, et tan(90°) n'existe pas (division par cos = 0).

Pourquoi tan(90°) n'est-elle pas définie ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

et qu'en

9 0^{\circ}

on a

cos 9 0^{\circ} = 0

: on diviserait par zéro. Géométriquement, le côté adjacent devient nul, donc le rapport opposé/adjacent « explose » vers l'infini.

Vérifie que tu as compris

Combien vaut sin 30° ?Réfléchis puis ouvre ▾

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

. Avec l'astuce

n /2

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Comment passe-t-on du tableau des sinus à celui des cosinus ?Réfléchis puis ouvre ▾

On lit la même liste à l'envers : le cosinus de 0° à 90° reprend les valeurs du sinus de 90° à 0°.

Combien vaut cos 60° ?Réfléchis puis ouvre ▾

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

(c'est

sin 3 0^{\circ}

, par complémentarité).

4Angles associés (les symétries)

Par symétrie sur le cercle, les angles « voisins » se déduisent les uns des autres. Inutile de tout mémoriser : visualise la symétrie sur le cercle de rayon 1.

Relation	$sin$	$cos$	Idée géométrique
Opposé $(- θ)$	$- sin θ$	$cos θ$	symétrie / axe horizontal
Supplémentaire $(π - θ)$	$sin θ$	$- cos θ$	symétrie / axe vertical
Complémentaire $(\frac{π}{2} - θ)$	$cos θ$	$sin θ$	sin et cos s'échangent

cos x

0.77

sin x

0.64

x(cos x, sin x)
−x(cos x, −sin x)
π−x(−cos x, sin x)
π+x(−cos x, −sin x)
π/2−x(sin x, cos x)

Fais varier l'angle de base x (le θ du tableau ci-dessus) : ses angles associés se placent sur le cercle. −x est le symétrique par l'axe horizontal (même cos, sin opposé), π−x par l'axe vertical (cos opposé, même sin), π+x par le centre, et π/2−x échange sin et cos (symétrie par la diagonale).

Le sens caché de « co-sinus »

Le complémentaire échange sinus et cosinus :

sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ

. C'est littéralement pourquoi on dit « co-sinus » = « sinus du complémentaire ».

Le signe selon le quadrant (indispensable pour sin² + cos² = 1)

Quand on retrouve un sinus à partir d'un cosinus (ou l'inverse) via l'identité de Pythagore, la racine carrée donne deux signes possibles : c'est le quadrant qui tranche. La règle est purement géométrique : $cos θ$ a le signe de l'abscisse $x$ (positif à droite), $sin θ$ a le signe de l'ordonnée $y$ (positif en haut), et $tan θ$ a le signe de leur quotient.

Quadrant	$sin$	$cos$	$tan$
I (0° à 90°)	+	+	+
II (90° à 180°)	+	−	−
III (180° à 270°)	−	−	+
IV (270° à 360°)	−	+	−

Seul sin est positif au quadrant II, seul tan au III, seul cos au IV ; tout est positif au I.

On sait que cos θ = 0,6 et que θ est dans le quatrième quadrant. Quel est le signe de sin θ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Au quadrant IV (270° à 360°), l'ordonnée est négative, donc

sin θ < 0

. L'identité donne

sin θ = \pm 0, 8

; le quadrant impose le signe −, soit

sin θ = - 0, 8

. Sans le quadrant, on ne peut pas choisir.

Vérifie que tu as compris

Que vaut sin(π − θ) en fonction de sin θ ?Réfléchis puis ouvre ▾

sin (π - θ) = sin θ

: deux angles supplémentaires ont le même sinus(symétrie par l'axe vertical).

Pourquoi dit-on « co-sinus » ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que

sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ

: le cosinus est le sinus de l'angle complémentaire.

Dans quel quadrant sin, cos et tan sont-ils tous positifs ?Réfléchis puis ouvre ▾

Au premier (0° à 90°). Ensuite, seul

sin

reste positif au II, seul

tan

au III, seul

cos

au IV.

5Les identités fondamentales

Identité de Pythagore trigonométrique

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

sin θ

ordonnée du point sur le cercle—

cos θ

abscisse du point sur le cercle—

Quand l'utiliser

Pour passer de sin à cos (ou l'inverse) quand on connaît l'un et le quadrant.

Quand l'éviter

Pour additionner deux angles différents : utiliser les formules d'addition.

Interprétation

C'est Pythagore appliqué au triangle de côtés cos θ et sin θ dans le cercle de rayon 1 : la somme des carrés des côtés = carré de l'hypoténuse = 1.

Piège au concours

Oublier le carré, ou se tromper de signe pour la racine (le quadrant décide du signe de sin/cos).

Astuce mémo

« sin² + cos² = 1 », la reine des identités : elle sort à presque chaque examen.

Formules d'addition et de duplication

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b

cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b

sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} θ

En posant a = b, on obtient les formules de duplication.

Lire ces formules : la règle des signes

Ici $a$ et $b$ sont deux angles. Ces formules donnent le sinus ou le cosinus d'une somme (ou d'une différence) à partir des angles pris séparément. On ne « distribue » jamais : $sin (a + b) \neq = sin a + sin b$ .

Le signe du milieu. Pour le sinus, il suit celui de la parenthèse (un « + » dedans donne un « + »). Pour le cosinus, il est inversé (c'est le $\mp$ ) : $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ . Retiens : « le cosinus change le signe ».

En posant $a = b$ , on retombe sur les formules de duplication( $sin 2 θ$ et $cos 2 θ$ ) : c'est le seul cas vraiment fréquent au concours, celui à connaître en priorité.

cos θ = \frac{3}{5}

avec

θ

aigu, calcule

sin θ

puis

sin (2 θ)

.Intermédiaire

Solution détaillée

sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

, donc

sin θ = \frac{4}{5}

(positif car aigu). Puis

sin (2 θ) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

Vérifie que tu as compris

Quelle identité relie sin θ et cos θ pour tout angle ?Réfléchis puis ouvre ▾

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

, l'identité de Pythagore trigonométrique. Elle permet de passer de l'un à l'autre, le quadrant fixant le signe.

A-t-on sin(a + b) = sin a + sin b ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non, jamais. On développe :

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Que donne la formule de duplication du sinus ?Réfléchis puis ouvre ▾

sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ

(le cas

a = b

de la formule d'addition).

6Trigonométrie dans un triangle quelconque

Au-delà du triangle rectangle

SOH-CAH-TOA exige un angle droit. Pour un triangle quelconque, deux lois généralisent Pythagore et permettent de tout calculer dès qu'on a assez de données.

Loi des cosinus (Al-Kashi)

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

L'angle α est encadré par les côtés b et c ; le côté a (en rouge) lui est opposé. La formule calcule ce côté opposé. Quand $α = 9 0^{\circ}$ , $cos α = 0$ : on retrouve Pythagore.

Loi des sinus

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Chaque côté est opposé à l'angle de même couleur : a↔α, b↔β, c↔γ. Chaque rapport côté/sinus de l'angle opposé est le même. Utile quand on connaît un angle et son côté opposé.

Aire d'un triangle quelconque

A = \frac{1}{2} a b sin γ

: deux côtés et l'angle entreeux. Cas rectangle (

γ = 9 0^{\circ}

sin = 1

) : on retombe sur

\frac{1}{2} base \times hauteur

Un triangle a deux côtés de 5 et 8 formant un angle de 60°. Quelle est son aire ?Niveau concours

Solution détaillée

A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 103 \approx 17, 3

. On utilise « deux côtés et l'angle entre eux », pas besoin de la hauteur.

Vérifie que tu as compris

Que devient la loi des cosinus quand l'angle vaut 90° ?Réfléchis puis ouvre ▾

cos 9 0^{\circ} = 0

, donc

a^{2} = b^{2} + c^{2}

: on retrouve le théorème de Pythagore.

Quelle formule donne l'aire à partir de deux côtés et de l'angle entre eux ?Réfléchis puis ouvre ▾

A = \frac{1}{2} a b sin γ

, où

γ

est l'angle entreles côtés

a

b

Quand préférer la loi des sinus ?Réfléchis puis ouvre ▾

Quand on connaît un angle et le côté qui lui est opposé : chaque rapport

a / sin α

est constant.

Pour le futur médecin

L'angle de Cobb est la mesure de référence de la scoliose. Sur une radiographie du rachis de face, on trace les tangentes aux plateaux des deux vertèbres les plus inclinées de la courbure, et on mesure l'angle entre elles. Au-delà de 10 degrés, on parle de scoliose ; tout le suivi consiste ensuite à voir si cet angle progresse.

Plus généralement, les modèles musculo-squelettiques utilisent la loi des cosinus dans un triangle quelconque pour relier l'angle d'une articulation à la longueur du muscle tendu entre ses deux insertions : les deux insertions et le centre de l'articulation forment un triangle dont un angle varie, et $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$ donne directement la longueur du muscle.

7Équations trigonométriques

Combien de solutions ?

Résoudre

sin θ = k

, c'est chercher tous les points du cercle dont l'ordonnéevaut

k

. En général, il y en a deux par tour, l'erreur classique est de n'en donner qu'un.

Exemple

sin θ = \frac{1}{2}

sur

[0^{\circ}, 36 0^{\circ} [

: le sinus vaut 1/2 en

θ = 3 0^{\circ}

ET en son supplémentaire

θ = 15 0^{\circ}

. Donc deux solutions.

Combien de solutions l'équation cos θ = −½ a-t-elle sur [0°, 360°[ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Deux :

θ = 12 0^{\circ}

θ = 24 0^{\circ}

. Ce sont les deux points du cercle d'abscisse

- \frac{1}{2}

, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Pense toujours au « jumeau » symétrique.

Résous

2 sin θ - 1 = 0

sur

[0^{\circ}, 36 0^{\circ} [

.Intermédiaire

Solution détaillée

sin θ = \frac{1}{2}

⇒

θ = 3 0^{\circ}

θ = 15 0^{\circ}

(le supplémentaire). Deux solutions.

Vérifie que tu as compris

Combien de solutions a en général sin θ = k sur un tour ?Réfléchis puis ouvre ▾

Deux quand

- 1 < k < 1

: l'angle trouvé et son supplémentaire. L'erreur classique est de n'en donner qu'une.

Une solution de sin θ = k trouvée, comment obtenir la seconde ?Réfléchis puis ouvre ▾

On prend le supplémentaire

18 0^{\circ} - θ

(même sinus, par symétrie).

L'équation sin θ = 2 a-t-elle des solutions ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non :

sin

reste entre

- 1

1

, donc aucune valeur ne convient.

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Accepter sin ou cos hors de [−1 ; 1]
Pourquoi : erreur de calcul non détectée
le point est sur un cercle de rayon 1 : sin et cos sont TOUJOURS entre −1 et 1.
Confondre opposé et adjacent
l'adjacent touche l'angle θ (hors hypoténuse) ; l'opposé est en face de θ.
Mélanger degrés et radians
Pourquoi : calculatrice ou formule dans le mauvais mode
convertir avec π/180 ; vérifier le mode (DEG/RAD) avant tout calcul.
Ne donner qu'une solution à sin θ = k
sur un tour il y a en général DEUX solutions ; ajouter le supplémentaire (sin) ou le symétrique (cos).
Écrire sin(a + b) = sin a + sin b
FAUX. Utiliser sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.
Oublier que tan(90°) n'existe pas
cos(90°) = 0 ⇒ division par zéro ; la tangente n'est pas définie.
Utiliser SOH-CAH-TOA dans un triangle non rectangle
sans angle droit, passer aux lois des sinus / cosinus.
Oublier le signe du quadrant après une racine (sin² + cos² = 1)
Pourquoi : la racine donne ±, on garde le + par réflexe
le quadrant fixe le signe : cos suit x (droite +), sin suit y (haut +).

Points clés à retenir

Sur le cercle de rayon 1, un point a pour coordonnées $(cos θ, sin θ)$ ; donc $- 1 \leq sin, cos \leq 1$ .
SOH-CAH-TOA : $sin = \frac{o}{h}$ , $cos = \frac{a}{h}$ , $tan = \frac{o}{a} = \frac{s i n}{c o s}$ .
Les rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle.
Connais par cœur le tableau 0/30/45/60/90° (astuce $n /2$ ).
Identité reine : $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ; le quadrant fixe le signe (cos suit x, sin suit y).
Triangle quelconque : Al-Kashi ( $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$ ), loi des sinus, aire $= \frac{1}{2} ab sin γ$ .
$sin θ = k$ a en général deux solutions par tour, n'en oublie pas une.

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