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Statistiques descriptives

Les statistiques descriptives résument un jeu de données par quelques nombres clés : un « centre » (moyenne, médiane) et une « dispersion » (écart-type). Le piège du concours n'est presque jamais le calcul, mais le choix du bon indicateur et la lecture corrected'un tableau de fréquences ou d'un histogramme. Pour un futur médecin, c'est la grammaire de toute analyse de résultats, valeurs de référence, variabilité biologique, interprétation d'une étude.

1Indicateurs de tendance centrale

Résumer par un « centre »

Face à 100 mesures, on cherche une valeur représentative. Trois candidats : la moyenne (le « centre de gravité »), la médiane (la valeur qui coupe la série en deux moitiés) et le mode (la valeur la plus fréquente). Le bon choix dépend des données.

Moyenne, le « centre de gravité »

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum x _{i}}{n}$ : on additionne toutes les valeurs et on divise par leur nombre. Sensible aux valeurs extrêmes(une seule valeur énorme la tire vers le haut).

Exemple, série 4, 6, 8, 10, 12 : $\overset{x}{ˉ} = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$ .

Médiane, la valeur qui coupe la série en deux

On ordonne les valeurs, puis on prend celle du milieu (la moyenne des deux valeurs centrales si $n$ est pair). Moitié des données en dessous, moitié au-dessus. Robuste : insensible aux extrêmes.

Exemple, série ordonnée 4, 6, 8, 10, 12 (5 valeurs) : la médiane est la 3ᵉ valeur, 8. Même si l'on remplace 12 par 1000, la médiane reste 8.

Mode, la valeur la plus fréquente

La valeur (ou la classe) qui revient le plus souvent. Une série peut avoir plusieurs modes, et c'est le seul indicateur utilisable pour des données non numériques (groupe sanguin, couleur des yeux…).

Exemple, série 4, 6, 6, 8, 12 : la valeur 6 apparaît deux fois, c'est le mode.

Moyenne 8.0

Médiane 6

valeur 14

valeur 26

valeur 37

valeur 45

valeur 518

Monte la dernière valeur très haut : la moyenne se fait tirer par cette donnée extrême, tandis que la médiane bouge à peine. C'est pourquoi la médiane est plus « robuste ».

Monte la 5ᵉ barre très haut : la moyenne (rouge) s'envole, la médiane (verte) bouge à peine. C'est toute la différence entre les deux.

Dans une entreprise, 9 employés gagnent 2 000 € et le patron 50 000 €. Le « salaire moyen » de 6 800 € est-il représentatif ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non. La moyenne

\overset{x}{ˉ} = 6800

€ est tirée vers le haut par une seule valeur extrême (le patron) : personne ne gagne « autour » de ce montant. La médiane(5ᵉ valeur ordonnée = 2 000 €) décrit bien mieux le salaire typique. C'est pourquoi on publie souvent le salaire médian, plus honnête.

2La moyenne pondérée

Pourquoi pondérer ?

Pour combiner des groupes de tailles différentes, on ne fait pas la moyenne des moyennes : un groupe plus nombreux doit peser davantage. C'est l'erreur classique des calculs de moyenne d'examens, de notes coefficientées, de concentrations mélangées.

Moyenne pondérée

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{\sum f _{i}}

x_{i}

valeur (ou moyenne) du groupe i—

f_{i}

effectif (poids) du groupe i—

Quand l'utiliser

Quand chaque valeur représente un nombre d'individus différent (effectifs, coefficients).

Quand l'éviter

Si tous les groupes ont le même poids : la moyenne simple suffit.

Interprétation

Chaque valeur compte proportionnellement à son effectif : c'est le centre de gravité de la série.

Piège au concours

Faire la moyenne des moyennes sans tenir compte des effectifs.

Astuce mémo

« somme des (effectif × valeur) / somme des effectifs ».

Exemple

30 élèves ont 12/20 et 20 élèves ont 7/20. Moyenne de la classe :

\overset{x}{ˉ} = \frac{30 \cdot 12 + 20 \cdot 7}{50} = \frac{500}{50} = 10

, et non 9,5 (la moyenne naïve de 12 et 7).

Un étudiant a 14 à un examen de coefficient 3 et 8 à un examen de coefficient 1. Quelle est sa moyenne ?Intermédiaire

Solution détaillée

\overset{x}{ˉ} = \frac{3 \cdot 14 + 1 \cdot 8}{3 + 1} = \frac{50}{4} = 12, 5

. L'examen de coefficient 3 pèse trois fois plus.

3Effectifs et fréquences

Effectif et fréquence relative

L'effectif

n_{i}

est le nombre d'individus prenant une valeur donnée. La fréquence relative est sa proportion :

f_{i} = \frac{n _{i}}{N}

. La somme de toutes les fréquences relatives vaut toujours 1 (ou 100 %).

Fréquence

Une proportion, entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %).

\sum f_{i} = 1

Fréquence cumulée

On additionne les fréquences au fur et à mesure ; utile pour trouver la médiane (là où le cumulé atteint 0,5).

Un tableau de fréquences relatives donne 0,12 ; 0,28 ; 0,25 ; ? ; 0,15. Quelle est la fréquence manquante ?Facile

Solution détaillée

La somme vaut 1, donc

1 - (0, 12 + 0, 28 + 0, 25 + 0, 15) = 1 - 0, 80 = 0, 20

. Le complément à 1 est le réflexe à avoir.

4La dispersion : écart-type et variance

Le centre ne suffit pas

Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes : l'une resserrée autour du centre, l'autre éparpillée. La dispersion mesure « à quel point les données s'éloignent du centre ». C'est souvent plus informatif que la moyenne.

Variance et écart-type

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} σ = σ^{2}

σ^{2}

variance (dispersion au carré)unité²

σ

écart-typeunité des données

x_{i} - \overset{x}{ˉ}

écart de chaque valeur à la moyenneunité

Quand l'utiliser

Pour quantifier la dispersion autour de la moyenne (variabilité, précision d'une mesure).

Quand l'éviter

Si la série a des extrêmes aberrants : préférer des indicateurs robustes (écart interquartile).

Interprétation

On moyenne les écarts à la moyenne AU CARRÉ (pour qu'ils ne s'annulent pas), puis on prend la racine pour revenir à l'unité de départ.

Piège au concours

Donner la variance comme « écart-type » : la variance est au carré, l'écart-type a l'unité des données.

Astuce mémo

« moyenne des carrés des écarts, puis racine ». Petit σ ⇒ données resserrées ; grand σ ⇒ éparpillées.

moyenne = 10

écart-type σ = 3.94

dispersion

La moyenne reste fixée à 10, mais en augmentant la dispersion les points s'écartent et l'écart-type σ grandit. Même centre, dispersion différente.

Pour le futur médecin

L'écart-type est partout en médecine : une valeur de référence de laboratoire s'exprime comme « moyenne ± écart-type » d'une population saine. La règle empirique (loi normale) : ≈ 68 % des individus sont à moins de

1 σ

de la moyenne, ≈ 95 % à moins de

2 σ

. Un résultat au-delà de

2 σ

est jugé « anormal » et déclenche un examen complémentaire.

Deux classes ont la même moyenne de 10/20. Dans l'une tout le monde a entre 9 et 11 ; dans l'autre, moitié a 4 et moitié a 16. Laquelle a le plus grand écart-type ?Réfléchis puis ouvre ▾

La seconde, de loin. Les écarts à la moyenne y sont énormes (±6), alors qu'ils sont minuscules dans la première (±1). Même moyenne, mais dispersions opposées : l'écart-type capture exactement cette différence que la moyenne masque.

Calcule l'écart-type de la série 12, 14, 15, 16, 18.Intermédiaire

Solution détaillée

Moyenne :

\overset{x}{ˉ} = \frac{12 + 14 + 15 + 16 + 18}{5} = 15

. Écarts :

- 3, - 1, 0, 1, 3

; carrés :

9, 1, 0, 1, 9

, somme 20. Variance :

σ^{2} = \frac{20}{5} = 4

, donc

σ = 2

5Lire un histogramme

Comprendre vraiment : c'est l'AIRE qui compte

Dans un histogramme à classes d'amplitudes inégales, l'effectif d'une classe est proportionnel à l'aire du rectangle, pas à sa hauteur. On porte en ordonnée la « densité de fréquence » (fréquence ÷ amplitude) pour que les aires soient comparables.

Élément du graphe	Ce qu'il représente
Largeur d'un rectangle	l'amplitude de la classe
Aire d'un rectangle	l'effectif (ou la fréquence) de la classe
Aire totale	l'effectif total (ou 1 en fréquences)

Trois classes d'âge d'amplitudes inégales. En ordonnée : la densité (effectif ÷ largeur). Le nombre inscrit dans chaque rectangle est son effectif = son AIRE. Les classes [10–20) et [20–40) ont le MÊME effectif (30) : la seconde, deux fois plus large, est donc deux fois moins haute, même aire. Juger à la hauteur ferait croire à tort que [20–40) est moins peuplée.

Deux classes ont le même effectif, mais l'une est deux fois plus large. Comment sont leurs hauteurs sur un histogramme correct ?Réfléchis puis ouvre ▾

La classe deux fois plus large est deux fois moins haute : à effectif (donc aire) égal, doubler la largeur impose de diviser la hauteur par deux. C'est tout l'intérêt de la densité de fréquence, sinon, l'œil surévaluerait la classe large.

6Effet d'une donnée : robustesse

Comprendre comment une seule valeur fait bouger les indicateurs est une compétence d'examen à part entière.

Ajouter une valeur égale à la moyenne

Ajouter à une série une valeur égale à la moyenne ne change pas la moyenne (le centre de gravité reste au même endroit), mais fait baisser l'écart-type (on ajoute un point pile au centre, qui « resserre » la dispersion relative).

On retire les deux valeurs les plus extrêmes d'une série. Que devient nécessairement l'écart-type ?Réfléchis puis ouvre ▾

On ne peut pas l'affirmer en général ! Retirer des valeurs extrêmes fait souvent baisser l'écart-type, mais selon les données restantes il peut aussi rester quasi identique. La seule réponse correcte est « cela dépend des valeurs », un piège classique du concours qui teste la nuance.

Une série de 5 notes a une moyenne de 12. On ajoute une 6ᵉ note. Quelle doit-elle être pour que la nouvelle moyenne soit 13 ?Niveau concours

Solution détaillée

Somme actuelle :

5 \times 12 = 60

. Nouvelle somme voulue :

6 \times 13 = 78

. La 6ᵉ note doit valoir

78 - 60 = 18

. (Penser en sommes, pas en moyennes, débloque ce type de question.)

7Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Calculer la médiane sans ordonner la série
toujours trier les valeurs par ordre croissant AVANT de prendre la valeur centrale.
Faire la moyenne des moyennes de groupes inégaux
Pourquoi : on oublie de pondérer par les effectifs
utiliser la moyenne pondérée : Σ(fᵢxᵢ)/Σfᵢ.
Confondre variance et écart-type
l'écart-type a l'unité des données ; la variance est à l'unité au carré (σ = √variance).
Juger un histogramme à la hauteur des barres
à classes inégales, c'est l'AIRE qui donne l'effectif, pas la hauteur.
Croire qu'une moyenne « représente » toujours bien la série
avec des extrêmes, préférer la médiane ; toujours regarder aussi la dispersion.
Oublier que Σ des fréquences relatives = 1
une fréquence manquante se déduit par complément à 1 (ou à 100 %).
Affirmer qu'enlever des extrêmes baisse forcément σ
cela dépend des données : σ peut baisser, augmenter ou rester stable.

Points clés à retenir

Moyenne = centre de gravité (sensible aux extrêmes) ; médiane = valeur centrale (robuste) ; mode = la plus fréquente.
Groupes d'effectifs inégaux ⇒ moyenne pondérée $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{\sum f _{i}}$ .
Somme des fréquences relatives = 1 ; une fréquence manquante se trouve par complément.
Dispersion : variance $σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ , écart-type $σ = σ^{2}$ (unité des données).
Histogramme à classes inégales : l'aire (pas la hauteur) donne l'effectif.
Règle 68 / 95 : ≈ 68 % des données à $\pm 1 σ$ , ≈ 95 % à $\pm 2 σ$ (valeurs de référence).
Penser en sommes (n × moyenne) pour les questions « quelle note pour atteindre… ».

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