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Dérivation et intégration

Deux idées jumelles gouvernent tout le calcul différentiel. La dérivée mesure une vitesse de variation : à quelle rapidité une grandeur change. L'intégrale mesure une accumulation : combien on a accumulé au total. Au concours, l'essentiel n'est pas de calculer des dérivées compliquées, mais d'interpréter le signe de $f^{'}$ (croissance) et de $f^{''}$ (concavité).

1La dérivée : une vitesse de variation

L'intuition d'abord

Sur ton compteur de voiture, la position (kilométrage) change au cours du temps. La vitesse, c'est à quelle rapidité cette position change : c'est la dérivée de la position. La dérivée répond toujours à la question « de combien ça varie quand l'entrée augmente un peu ? ».

Du taux moyen au taux instantané

Entre deux points, le taux d'accroissement $\frac{Δ f}{Δ x}$ est la pente moyenne (comme la vitesse moyenne). En faisant tendre l'écart $Δ x$ vers zéro, on obtient la dérivée $f^{'} (x)$ : la pente instantanée, au point précis $x$ .

L'analogie à garder en tête

f

= position,

f^{'}

= vitesse,

f^{''}

= accélération. Le signe de

f^{'}

dit si on avance ou recule ; le signe de

f^{''}

dit si on accélère ou freine.

2La dérivée = pente de la tangente

Définition géométrique

f^{'} (x)

est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse

x

. C'est la lecture la plus utile : si

f^{'} > 0

, la courbe monte ; si

f^{'} < 0

, elle descend ; si

f^{'} = 0

, la tangente est horizontale.

Fais basculer la tangente

Déplace le point

x_{0}

le long de la courbe : la tangente dorée pivote. Sa pente affichée est

f^{'} (x_{0})

. Repère les endroits où elle devient horizontale : ce sont les extrema (la pente y change de signe).

f(x) = ¼x³ − x · f′(x) = ¾x² − 1

point x₀ = 1.50

pente f′(x₀) = 0.69

x₀

La tangente (dorée) a pour pente f′(x₀). Quand f′ > 0 la courbe monte ; f′ < 0 elle descend ; f′ = 0 marque un extremum.

La tangente dorée a pour pente f′(x₀). Elle s'annule (devient horizontale) aux sommets et aux creux.

En un maximum d'une fonction lisse, que vaut la dérivée ? Et au sommet d'une trajectoire de balle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Elle vaut zéro : la tangente est horizontale au sommet. C'est exactement comme une balle lancée en l'air : au point le plus haut, sa vitesse verticale (la dérivée de la hauteur) est nulle un instant, avant de redevenir négative à la descente.

3Dérivées usuelles et règles de calcul

Définition de la dérivée

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

f^{'} (x)

dérivée (pente instantanée)—

h

petit accroissement qui tend vers 0—

Quand l'utiliser

Pour comprendre l'origine de la dérivée, ou la calculer « à la main » sur une fonction nouvelle.

Quand l'éviter

En pratique, on utilise directement les dérivées usuelles et les règles ci-dessous.

Interprétation

On fait glisser le second point vers le premier : la corde devient tangente, sa pente devient la dérivée.

Piège au concours

Croire que f′(x) est un quotient ordinaire : c'est une LIMITE de quotients.

Astuce mémo

« variation de la sortie / variation de l'entrée », quand l'entrée varie infiniment peu.

Fonction f(x)	Dérivée f′(x)
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$k$	$0$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$x$	$\frac{1}{2 x}$

À connaître par cœur : ce sont les briques de tous les calculs de dérivées.

Somme et produit

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

;

(k u)^{'} = k u^{'}

;

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(le produit ne se dérive pas terme à terme !).

Quotient et composée (chaîne)

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

;

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

(« dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur »).

Dérive

f (x) = 3 x^{4} + 2 x - 7

.Facile

Solution détaillée

Terme à terme :

f^{'} (x) = 3 \cdot 4 x^{3} + 2 - 0 = 12 x^{3} + 2

. (La constante disparaît.)

Dérive

f (x) = (2 x + 1)^{3}

avec la règle de la chaîne.Intermédiaire

Solution détaillée

Extérieur

u^{3} \Rightarrow 3 u^{2}

, intérieur

2 x + 1 \Rightarrow 2

. Donc

f^{'} (x) = 3 (2 x + 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 1)^{2}

4Sens de variation et extrema

Comprendre vraiment : le signe de f′ raconte tout

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de

f

, sans tracer la courbe. On cherche d'abord où

f^{'} (x) = 0

(candidats extrema), puis on regarde comment

f^{'}

change de signe de part et d'autre.

Signe de $f^{'}$	Variation de f	Au point où f′ s'annule…
+ puis −	monte puis descend	maximum local
− puis +	descend puis monte	minimum local
ne change pas	continue dans le même sens	point d'inflexion à tangente horizontale

De gauche à droite : MAXIMUM (f′ : + puis −, la courbe monte puis descend) · MINIMUM (f′ : − puis +, descend puis monte) · POINT D'INFLEXION (f′ : + puis +, la tangente est horizontale mais la fonction continue de monter). Le point doré = tangente horizontale (f′ = 0).

Le piège classique

f^{'} (x) = 0

n'est pas toujours un extremum ! Exemple :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

, mais la fonction continue de monter (c'est un point d'inflexion). Il faut vérifier le changement de signe.

Où la fonction

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

atteint-elle son minimum ?Intermédiaire

Solution détaillée

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2

. Avant 2,

f^{'} < 0

(descend) ; après,

f^{'} > 0

(monte) : c'est bien un minimum, atteint en

x = 2

, où

f (2) = - 3

5Concavité et dérivée seconde

La dérivée seconde $f^{''}$ est la dérivée de la dérivée : elle mesure comment la pente elle-même évolue. Son signe donne la concavité (la « courbure ») :

Signe de $f^{''}$	Concavité	Forme
+	convexe (tournée vers le haut)	comme un bol ∪
−	concave (tournée vers le bas)	comme un dôme ∩
0 (changement)	point d'inflexion	la courbure s'inverse

Au sujet d'un bénéfice B(t), que disent séparément B(1) > 0, B′(1) > 0 et B″(1) > 0 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Trois informations indépendantes :

B (1) > 0

⇒ le bénéfice est positif ;

B^{'} (1) > 0

⇒ il est croissant à cet instant ;

B^{''} (1) > 0

⇒ cette croissance s'accélère (convexe). Ne jamais déduire l'une de l'autre : valeur, variation et accélération sont trois étages distincts.

6Intégration : l'aire sous la courbe

L'idée renversante

Intégrer, c'est accumuler. L'intégrale d'une fonction positive entre

a

b

est exactement l'aire comprise entre la courbe et l'axe horizontal. Et c'est l'opération inverse de la dérivation (théorème fondamental de l'analyse).

Primitive d'une puissance

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

\int

symbole d'intégration (somme continue)—

C

constante d'intégration—

Quand l'utiliser

Pour trouver une primitive (l'opération inverse de la dérivée) ou calculer une aire.

Quand l'éviter

Pour n = −1 : la primitive de 1/x est ln|x|, pas une puissance.

Interprétation

On « remonte » la dérivation : on augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant.

Piège au concours

Oublier le + C (primitive non unique), et oublier le cas particulier n = −1.

Astuce mémo

« j'augmente, je divise », l'inverse exact de la règle (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹.

Fonction f(x)	Primitive $\int f (x) d x$ (à $+ C$ près)
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x}$
$cos x$	$sin x$
$sin x$	$- cos x$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan x$
$\frac{1}{x}$	$2 x$

Les primitives à connaître par cœur : ce sont les dérivées usuelles lues à l'envers. Toujours ajouter la constante + C.

Vois l'aire se construire

Découpe l'aire en rectangles : plus tu en mets (curseur N), plus la somme de leurs aires s'approche de l'aire exacte sous la courbe. L'intégrale est précisément la limite de ces sommes quand les rectangles deviennent infiniment fins.

f(x) = ¼x² + ½ · [0 ; 4]

approximation: 7.296

aire exacte: 7.333

nombre de rectangles N

N = 6 · Δx = 0.67

Augmente N : la somme des rectangles (vert) converge vers l'aire exacte sous la courbe bleue. C'est la définition de l'intégrale.

Pour le futur médecin

En pharmacologie, l'aire sous la courbe (AUC, area under the curve) de la concentration d'un médicament en fonction du temps mesure l'exposition totale de l'organisme à ce médicament. C'est une intégrale, et un paramètre clé pour adapter les doses.

Même logique pour un débit : l'aire sous une courbe de débit (mL/min) en fonction du temps donne le volume total perfusé.

Calcule l'aire sous

f (x) = x^{2}

entre

x = 0

x = 3

.Niveau concours

Solution détaillée

Primitive :

\frac{x ^{3}}{3}

. Aire

= [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9

unités d'aire.

7Méthodes d'intégration

Quand la primitive ne « saute pas aux yeux »

Beaucoup d'intégrales ne se lisent pas directement dans le tableau des primitives. Deux techniques permettent de s'y ramener : le changement de variable (substitution) et l'intégration par parties. Savoir laquelle déclencher est un réflexe très rentable.

Méthode 1, Le changement de variable (substitution)

L'idée : repérer une fonction intérieure et la remplacer par une nouvelle variable $t$ , pour faire apparaître une primitive connue. On pose $t = g (x)$ , on calcule $\frac{d t}{d x} = g^{'} (x)$ (donc $d t = g^{'} (x) d x$ ), on réécrit TOUTE l'intégrale en $t$ , on intègre, puis on revient à $x$ .

Changement de variable

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (t) d t (t = g (x))

t = g (x)

la fonction intérieure qu'on renomme—

d t = g^{'} (x) d x

le « lien » entre dt et dx—

Quand l'utiliser

Quand l'intégrande contient une fonction composée et, à un facteur près, la dérivée de l'intérieur.

Quand l'éviter

Pour un PRODUIT de deux fonctions de natures différentes (x·eˣ, x·cos x…) : c'est plutôt l'intégration par parties.

Interprétation

On « absorbe » la dérivée intérieure dans dt pour retomber sur une primitive du tableau.

Piège au concours

Oublier de remplacer dx par dt (le facteur g′), ou oublier de revenir à x à la fin.

Astuce mémo

« je pose l'intérieur = t, je remplace dx, j'intègre, je reviens à x ».

Exemple, ∫ cos(2x) dx

On pose $t = 2 x$ , donc $\frac{d t}{d x} = 2$ , soit $d x = \frac{d t}{2}$ . L'intégrale devient $\int cos (t) \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int cos t d t = \frac{1}{2} sin t + C$ .

On revient à $x$ ( $t = 2 x$ ) : $\int cos (2 x) d x = \frac{1}{2} sin (2 x) + C$ .

Méthode 2, L'intégration par parties

Elle sert à intégrer un produit. Elle vient directement de la dérivée d'un produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ : en intégrant les deux côtés et en réarrangeant, on obtient la formule. On choisit $u$ (qu'on va dériver) et $v^{'}$ (qu'on va intégrer).

Intégration par parties

\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x

u

facteur qu'on DÉRIVE (→ u′)—

v^{'}

facteur qu'on INTÈGRE (→ v)—

Quand l'utiliser

Pour un produit de deux fonctions de natures différentes : polynôme × exponentielle, polynôme × cos/sin, ou × ln.

Quand l'éviter

Si une simple substitution marche : la préférer (plus rapide).

Interprétation

On échange une intégrale difficile (∫u v′) contre une plus simple (∫u′ v), en « passant » la dérivée de v′ vers u.

Piège au concours

Mal choisir u et v′ : on doit rendre ∫u′v PLUS simple. Règle utile : u = le ln ou le polynôme (il se simplifie en dérivant).

Astuce mémo

« u·v moins l'intégrale de v·u′ » : ∫u v′ = uv − ∫u′ v.

Exemple, ∫ x·eˣ dx

On pose $u = x$ (donc $u^{'} = 1$ ) et $v^{'} = e^{x}$ (donc $v = e^{x}$ ). La formule donne $\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ .

Soit $e^{x} (x - 1) + C$ . On a remplacé $\int x e^{x} d x$ (difficile) par $\int e^{x} d x$ (immédiat) en choisissant $u = x$ (qui se simplifie en dérivant).

Calcule

\int (3 x + 1)^{4} d x

par substitution.Intermédiaire

Solution détaillée

On pose

t = 3 x + 1

d t = 3 d x

donc

d x = \frac{d t}{3}

. L'intégrale devient

\int t^{4} \frac{d t}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{t ^{5}}{5} = \frac{t ^{5}}{15}

. On revient à

x

\frac{( 3 x + 1 ) ^{5}}{15} + C

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Dériver un produit terme à terme
Pourquoi : on calque la règle de la somme
(uv)′ = u′v + uv′, PAS u′v′. Pareil pour le quotient (règle dédiée).
Oublier la règle de la chaîne
Pourquoi : fonction composée non repérée
(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) : dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur.
Conclure « extremum » dès que f′ = 0
vérifier le changement de signe ; x³ a f′(0)=0 sans extremum (inflexion).
Confondre sens de variation (f′) et concavité (f″)
f′ dit monte/descend ; f″ dit convexe/concave. Deux étages distincts.
Oublier la constante + C en intégrant
une primitive est définie à une constante près ; toujours écrire + C (intégrale indéfinie).
Appliquer xⁿ⁺¹/(n+1) au cas n = −1
la primitive de 1/x est ln|x| ; la formule des puissances exclut n = −1.

Points clés à retenir

Dérivée = pente de la tangente = vitesse de variation instantanée.
$f^{'} > 0$ ⇒ croissance ; $f^{'} < 0$ ⇒ décroissance ; $f^{'} = 0$ ⇒ candidat extremum (vérifier le changement de signe).
$f^{''}$ donne la concavité (convexe/concave), pas le sens de variation.
Valeur $f (a)$ , variation $f^{'} (a)$ et concavité $f^{''} (a)$ sont trois informations indépendantes.
Règles : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(f (g))^{'} = f^{'} (g) g^{'}$ (chaîne).
Intégrale d'une fonction positive = aire sous la courbe = limite de sommes de rectangles.
Primitive : $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (sauf $n = - 1$ ⇒ $ln ∣ x ∣$ ).
Substitution : poser $t = g (x)$ , remplacer $d x$ , intégrer, revenir à $x$ ; par parties : $\int u v^{'} = uv - \int u^{'} v$ .

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