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Dérivation et intégration

Deux idées jumelles gouvernent tout le calcul différentiel. La dérivée mesure une vitesse de variation : à quelle rapidité une grandeur change. L'intégrale mesure une accumulation : combien on a accumulé au total. Au concours, l'essentiel n'est pas de calculer des dérivées compliquées, mais d'interpréter le signe de $f^{'}$ (croissance) et de $f^{''}$ (concavité).

1La dérivée : une vitesse de variation

L'intuition d'abord

Sur ton compteur de voiture, la position (kilométrage) change au cours du temps. La vitesse, c'est à quelle rapidité cette position change : c'est la dérivée de la position. La dérivée répond toujours à la question « de combien ça varie quand l'entrée augmente un peu ? ».

Du taux moyen au taux instantané

Entre deux points, le taux d'accroissement $\frac{Δ f}{Δ x}$ est la pente moyenne (comme la vitesse moyenne). En faisant tendre l'écart $Δ x$ vers zéro, on obtient la dérivée $f^{'} (x)$ : la pente instantanée, au point précis $x$ .

L'analogie à garder en tête

f

= position,

f^{'}

= vitesse,

f^{''}

= accélération. Le signe de

f^{'}

dit si on avance ou recule ; le signe de

f^{''}

dit si on accélère ou freine.

Une voiture roule sur l'autoroute à 120 km/h, régulateur enclenché. Que valent la dérivée première et la dérivée seconde de sa position ?Réfléchis puis ouvre ▾

f^{'}

est constante et positive (la vitesse, 120 km/h) et

f^{''} = 0

(aucune accélération, la vitesse ne change pas). Attention au réflexe faux : «

f^{''} = 0

donc rien ne bouge ». C'est la vitesse qui ne bouge pas, la position, elle, continue d'augmenter régulièrement.

Vérifie que tu as compris

Le taux d'accroissement Δf/Δx donne-t-il une pente moyenne ou instantanée ?Réfléchis puis ouvre ▾

Moyenne : c'est la pente de la corde entre deux points. La dérivée est sa limite quand l'écart

Δ x

tend vers 0, et c'est elle qui est instantanée.

Une position s est en mètres, le temps t en secondes. Quelle est l'unité de s′(t) ?Réfléchis puis ouvre ▾

Des mètres par seconde. Une dérivée a toujours l'unité « unité de sortie / unité d'entrée » : c'est un contrôle très rapide pour vérifier qu'on n'a pas confondu

f

f^{'}

Que signifie concrètement f′(3) = −5 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Au point

x = 3

, la grandeur diminue, et elle diminue de 5 unités par unité de

x

gagnée. Cela ne dit rien du signe de

f (3)

f

peut très bien valoir

+ 100

et être en train de descendre.

Pour le futur médecin

La pharmacocinétique n'est rien d'autre que de la dérivation appliquée. Pour la plupart des médicaments aux doses usuelles, la vitesse d'élimination est proportionnelle à la concentration présente dans le sang : $\frac{d C}{d t} = - k C$ (cinétique dite d'ordre 1). Plus il y a de molécules, plus l'organisme en élimine par heure.

Cette équation impose la forme de la courbe : $C (t) = C_{0} e^{- k t}$ , une décroissance exponentielle, dont on tire la demi-vie $t_{1/2} = \frac{ln 2}{k}$ . Pour le paracétamol chez l'adulte sain, elle est d'environ 2 h. C'est cette dérivée qui décide de l'espacement entre deux prises.

2La dérivée = pente de la tangente

Définition géométrique

f^{'} (x)

est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse

x

. C'est la lecture la plus utile : si

f^{'} > 0

, la courbe monte ; si

f^{'} < 0

, elle descend ; si

f^{'} = 0

, la tangente est horizontale.

Fais basculer la tangente

Déplace le point

x_{0}

le long de la courbe : la tangente dorée pivote. Sa pente affichée est

f^{'} (x_{0})

. Repère les endroits où elle devient horizontale : ce sont les extrema (la pente y change de signe).

f(x) = ¼x³ − x · f′(x) = ¾x² − 1

point x₀ = 1.50

pente f′(x₀) = 0.69

x₀

La tangente (dorée) a pour pente f′(x₀). Quand f′ > 0 la courbe monte ; f′ < 0 elle descend ; f′ = 0 marque un extremum.

La tangente dorée a pour pente f′(x₀). Elle s'annule (devient horizontale) aux sommets et aux creux.

En un maximum d'une fonction lisse, que vaut la dérivée ? Et au sommet d'une trajectoire de balle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Elle vaut zéro : la tangente est horizontale au sommet. C'est exactement comme une balle lancée en l'air : au point le plus haut, sa vitesse verticale (la dérivée de la hauteur) est nulle un instant, avant de redevenir négative à la descente.

Équation de la tangente en un point

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

a

abscisse du point de contact—

f (a)

ordonnée du point (hauteur de la courbe)—

f^{'} (a)

pente de la tangente en ce point—

Quand l'utiliser

Pour écrire l'équation de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Quand l'éviter

Si on cherche seulement la pente : c'est f′(a) tout court, sans l'équation complète.

Interprétation

C'est l'équation d'une droite de pente f′(a) qui passe par le point (a, f(a)) : la meilleure approximation locale de la courbe.

Piège au concours

Confondre f(a) (la hauteur) et f′(a) (la pente), ou évaluer la dérivée au mauvais point.

Astuce mémo

« pente fois (x − a), plus la hauteur ». Toujours passer par le point (a, f(a)).

Donne l'équation de la tangente à

f (x) = x^{2}

au point d'abscisse

a = 1

.Intermédiaire

Solution détaillée

f (1) = 1

f^{'} (x) = 2 x \Rightarrow f^{'} (1) = 2

. La tangente est

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

. On vérifie : en

x = 1

y = 1

(elle touche bien la courbe), et sa pente vaut 2.

Vérifie que tu as compris

On te donne seulement le graphe de f, sans son expression. Comment estimes-tu f′(a) ?Réfléchis puis ouvre ▾

Tu traces la tangente à la courbe au point d'abscisse

a

, puis tu lis sa pente : combien de carreaux on monte quand on avance d'un carreau. Aucune formule n'est nécessaire, et c'est exactement ce que demandent les questions de lecture graphique au concours.

La courbe de f passe par le point (2 ; 5) et sa tangente en ce point a une pente de −3. Que valent f(2) et f′(2) ?Réfléchis puis ouvre ▾

f (2) = 5

(la hauteur) et

f^{'} (2) = - 3

(la pente). C'est le piège numéro un de la tangente : la valeur de la fonction et celle de la dérivée sont deux informations différentes lues au même endroit.

Deux courbes se croisent en un même point. Ont-elles nécessairement la même dérivée en ce point ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non. Elles ont la même valeur, pas la même pente : elles se coupent en général en formant un angle. Elles n'auraient la même dérivée que si elles étaient tangentes l'une à l'autre en ce point.

3Dérivées usuelles et règles de calcul

Définition de la dérivée

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

f^{'} (x)

dérivée (pente instantanée)—

h

petit accroissement qui tend vers 0—

Quand l'utiliser

Pour comprendre l'origine de la dérivée, ou la calculer « à la main » sur une fonction nouvelle.

Quand l'éviter

En pratique, on utilise directement les dérivées usuelles et les règles ci-dessous.

Interprétation

On fait glisser le second point vers le premier : la corde devient tangente, sa pente devient la dérivée.

Piège au concours

Croire que f′(x) est un quotient ordinaire : c'est une LIMITE de quotients.

Astuce mémo

« variation de la sortie / variation de l'entrée », quand l'entrée varie infiniment peu.

Fonction f(x)	Dérivée f′(x)
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$k$	$0$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$x$	$\frac{1}{2 x}$

À connaître par cœur : ce sont les briques de tous les calculs de dérivées.

Somme et produit

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

;

(k u)^{'} = k u^{'}

;

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(le produit ne se dérive pas terme à terme !).

Quotient et composée (chaîne)

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

;

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

(« dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur »).

Dérive

f (x) = 3 x^{4} + 2 x - 7

.Facile

Solution détaillée

Terme à terme :

f^{'} (x) = 3 \cdot 4 x^{3} + 2 - 0 = 12 x^{3} + 2

. (La constante disparaît.)

Dérive

f (x) = (2 x + 1)^{3}

avec la règle de la chaîne.Intermédiaire

Solution détaillée

Extérieur

u^{3} \Rightarrow 3 u^{2}

, intérieur

2 x + 1 \Rightarrow 2

. Donc

f^{'} (x) = 3 (2 x + 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 1)^{2}

Vérifie que tu as compris

Que vaut la dérivée de 1/x ? Et celle de 1/x² ?Réfléchis puis ouvre ▾

On les écrit en puissances :

\frac{1}{x} = x^{- 1} \Rightarrow - 1 \cdot x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}

\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2} \Rightarrow - 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x ^{3}}

. La règle

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

marche aussi pour les exposants négatifs, pas besoin de la règle du quotient ici.

Peut-on écrire (uv)′ = u′v′ ? Trouve un contre-exemple en une ligne.Réfléchis puis ouvre ▾

Non. Prends

u = v = x

: alors

uv = x^{2}

, dont la dérivée est

2 x

, alors que

u^{'} v^{'} = 1 \times 1 = 1

. La bonne règle est

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

, qui redonne bien

1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 x

Pourquoi la dérivée de (x²+1)⁵ n'est-elle pas 5(x²+1)⁴ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce qu'il manque la dérivée de l'intérieur. La règle de la chaîne donne

5 (x^{2} + 1)^{4} \cdot 2 x = 10 x (x^{2} + 1)^{4}

. Test de sécurité : en

x = 0

la fonction a un minimum, donc sa dérivée doit y être nulle. La version fausse donnerait 5, la version correcte donne 0.

4Sens de variation et extrema

Comprendre vraiment : le signe de f′ raconte tout

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de

f

, sans tracer la courbe. On cherche d'abord où

f^{'} (x) = 0

(candidats extrema), puis on regarde comment

f^{'}

change de signe de part et d'autre.

Signe de $f^{'}$	Variation de f	Au point où f′ s'annule…
+ puis −	monte puis descend	maximum local
− puis +	descend puis monte	minimum local
ne change pas	continue dans le même sens	point d'inflexion à tangente horizontale

De gauche à droite : MAXIMUM (f′ : + puis −, la courbe monte puis descend) · MINIMUM (f′ : − puis +, descend puis monte) · POINT D'INFLEXION (f′ : + puis +, la tangente est horizontale mais la fonction continue de monter). Le point doré = tangente horizontale (f′ = 0).

Le piège classique

f^{'} (x) = 0

n'est pas toujours un extremum ! Exemple :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

, mais la fonction continue de monter (c'est un point d'inflexion). Il faut vérifier le changement de signe.

Où la fonction

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

atteint-elle son minimum ?Intermédiaire

Solution détaillée

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2

. Avant 2,

f^{'} < 0

(descend) ; après,

f^{'} > 0

(monte) : c'est bien un minimum, atteint en

x = 2

, où

f (2) = - 3

Tu disposes de 20 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le périmètre impose

2 (L + ℓ) = 20

, donc

L = 10 - ℓ

: une seule inconnue reste. L'aire devient

A (ℓ) = ℓ (10 - ℓ) = 10 ℓ - ℓ^{2}

. On dérive :

A^{'} (ℓ) = 10 - 2 ℓ

, qui s'annule en

ℓ = 5

, avec

A^{'} > 0

avant et

A^{'} < 0

après : c'est bien un maximum. L'enclos optimal est un carré 5 m × 5 m, d'aire

25 m^{2}

. La méthode d'optimisation tient en trois gestes : exprimer la grandeur à optimiser avec une seule variable grâce à la contrainte, dériver, puis étudier le signe.

Vérifie que tu as compris

Quelles sont les trois étapes d'une étude de variations ?Réfléchis puis ouvre ▾

(1) Déterminer le domaine et calculer

f^{'}

; (2) résoudre

f^{'} (x) = 0

pour trouver les candidats ; (3) étudier le signe de

f^{'}

dans un tableau et en déduire le sens de variation. C'est la conclusion sur le signe, jamais l'annulation seule, qui identifie un extremum.

Sur l'intervalle [0 ; 3], f′ est strictement positive partout. Où f atteint-elle son maximum ?Réfléchis puis ouvre ▾

x = 3

, c'est-à-dire au bord de l'intervalle, alors que

f^{'}

ne s'annule nulle part. Piège classique du concours : sur un intervalle fermé, il faut toujours comparer aussi les valeurs aux bornes, pas seulement les points où

f^{'} = 0

f′ s'annule en x = 1 mais reste négative de part et d'autre. Que conclus-tu ?Réfléchis puis ouvre ▾

Aucun extremum : la fonction descend, marque une pause à tangente horizontale, puis continue de descendre. C'est un point d'inflexion à tangente horizontale, exactement le comportement de

- x^{3}

en 0.

5Concavité et dérivée seconde

La dérivée seconde $f^{''}$ est la dérivée de la dérivée : elle mesure comment la pente elle-même évolue. Son signe donne la concavité (la « courbure ») :

Signe de $f^{''}$	Concavité	Forme
+	convexe (tournée vers le haut)	comme un bol ∪
−	concave (tournée vers le bas)	comme un dôme ∩
0 (changement)	point d'inflexion	la courbure s'inverse

Au sujet d'un bénéfice B(t), que disent séparément B(1) > 0, B′(1) > 0 et B″(1) > 0 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Trois informations indépendantes :

B (1) > 0

⇒ le bénéfice est positif ;

B^{'} (1) > 0

⇒ il est croissant à cet instant ;

B^{''} (1) > 0

⇒ cette croissance s'accélère (convexe). Ne jamais déduire l'une de l'autre : valeur, variation et accélération sont trois étages distincts.

Vérifie que tu as compris

f″(x) > 0 sur tout un intervalle : la fonction y est-elle croissante ?Réfléchis puis ouvre ▾

Pas forcément.

f^{''} > 0

dit seulement que la pente augmente. Exemple :

f (x) = e^{- x}

f^{'} = - e^{- x} < 0

(elle décroît) et

f^{''} = e^{- x} > 0

(elle est convexe). Elle décroît de moins en moins vite : c'est la courbe typique d'une élimination de médicament.

Comment reconnaît-on un point d'inflexion ?Réfléchis puis ouvre ▾

f^{''}

doit s'annuler en changeant de signe : la courbure s'inverse, le bol

\cup

devient dôme

\cap

(ou l'inverse). Une simple annulation de

f^{''}

ne suffit pas, comme

x^{4}

en 0, qui reste convexe.

Un mobile a f′ < 0 et f″ > 0. Que fait-il ?Réfléchis puis ouvre ▾

Il recule en freinant : sa vitesse est négative mais elle augmente (elle se rapproche de zéro). Le signe de

f^{'}

donne le sens du déplacement, celui de

f^{''}

dit si la vitesse gagne ou perd en valeur.

Pour le futur médecin

En épidémiologie, la dérivée seconde est la grandeur que tout le monde surveille sans toujours la nommer. La courbe du nombre cumulé de cas monte d'abord de plus en plus vite (convexe), puis de moins en moins vite (concave). Le basculement est le point d'inflexion : c'est là que $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

Or $f^{'}$ est le nombre de nouveaux cas par jour. Le point d'inflexion du cumul est donc exactement le pic des nouveaux cas. « Aplatir la courbe » signifie abaisser ce maximum de $f^{'}$ , pour que les malades n'arrivent pas tous en même temps à l'hôpital. Le total, lui, continue de monter : c'est la nuance que beaucoup ratent.

6Intégration : l'aire sous la courbe

L'idée renversante

Intégrer, c'est accumuler. L'intégrale d'une fonction positive entre

a

b

est exactement l'aire comprise entre la courbe et l'axe horizontal. Et c'est l'opération inverse de la dérivation (théorème fondamental de l'analyse).

Primitive d'une puissance

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

\int

symbole d'intégration (somme continue)—

C

constante d'intégration—

Quand l'utiliser

Pour trouver une primitive (l'opération inverse de la dérivée) ou calculer une aire.

Quand l'éviter

Pour n = −1 : la primitive de 1/x est ln|x|, pas une puissance.

Interprétation

On « remonte » la dérivation : on augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant.

Piège au concours

Oublier le + C (primitive non unique), et oublier le cas particulier n = −1.

Astuce mémo

« j'augmente, je divise », l'inverse exact de la règle (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹.

Fonction f(x)	Primitive $\int f (x) d x$ (à $+ C$ près)
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x}$
$cos x$	$sin x$
$sin x$	$- cos x$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan x$
$\frac{1}{x}$	$2 x$

Les primitives à connaître par cœur : ce sont les dérivées usuelles lues à l'envers. Toujours ajouter la constante + C.

Vois l'aire se construire

Découpe l'aire en rectangles : plus tu en mets (curseur N), plus la somme de leurs aires s'approche de l'aire exacte sous la courbe. L'intégrale est précisément la limite de ces sommes quand les rectangles deviennent infiniment fins.

f(x) = ¼x² + ½ · [0 ; 4]

approximation: 7.296

aire exacte: 7.333

nombre de rectangles N

N = 6 · Δx = 0.67

Augmente N : la somme des rectangles (vert) converge vers l'aire exacte sous la courbe bleue. C'est la définition de l'intégrale.

Pour le futur médecin

En pharmacologie, l'aire sous la courbe (AUC, area under the curve) de la concentration d'un médicament en fonction du temps mesure l'exposition totale de l'organisme à ce médicament. C'est une intégrale, et un paramètre clé pour adapter les doses.

Même logique pour un débit : l'aire sous une courbe de débit (mL/min) en fonction du temps donne le volume total perfusé.

Calcule l'aire sous

f (x) = x^{2}

entre

x = 0

x = 3

.Niveau concours

Solution détaillée

Primitive :

\frac{x ^{3}}{3}

. Aire

= [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9

unités d'aire.

Vérifie que tu as compris

Pourquoi la formule xⁿ⁺¹/(n+1) échoue-t-elle pour n = −1 ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce qu'elle demanderait de diviser par

n + 1 = 0

, ce qui est interdit. La primitive de

\frac{1}{x}

est

ln ∣ x ∣

, avec la valeur absolue, car

1/ x

existe aussi pour

x < 0

Pourquoi une primitive s'écrit-elle toujours « + C » ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que la dérivée d'une constante est nulle :

x^{2}

x^{2} + 7

x^{2} - 3

ont toutes la même dérivée

2 x

. Une primitive n'est donc jamais unique, elle est définie à une constante additive près. Dans une intégrale définie, en revanche, le

C

se simplifie et on peut l'oublier.

On intègre une fonction qui est négative sur tout [a ; b]. Quel est le signe du résultat ?Réfléchis puis ouvre ▾

Négatif. L'intégrale est une aire algébrique : elle compte négativement ce qui est sous l'axe. Si la question demande une aire géométrique, il faut prendre la valeur absolue, ou découper l'intervalle aux points où

f

change de signe. Piège fréquent au concours.

7Méthodes d'intégration

Quand la primitive ne « saute pas aux yeux »

Beaucoup d'intégrales ne se lisent pas directement dans le tableau des primitives. Deux techniques permettent de s'y ramener : le changement de variable (substitution) et l'intégration par parties. Savoir laquelle déclencher est un réflexe très rentable.

Méthode 1, Le changement de variable (substitution)

L'idée : repérer une fonction intérieure et la remplacer par une nouvelle variable $t$ , pour faire apparaître une primitive connue. On pose $t = g (x)$ , on calcule $\frac{d t}{d x} = g^{'} (x)$ (donc $d t = g^{'} (x) d x$ ), on réécrit TOUTE l'intégrale en $t$ , on intègre, puis on revient à $x$ .

Changement de variable

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (t) d t (t = g (x))

t = g (x)

la fonction intérieure qu'on renomme—

d t = g^{'} (x) d x

le « lien » entre dt et dx—

Quand l'utiliser

Quand l'intégrande contient une fonction composée et, à un facteur près, la dérivée de l'intérieur.

Quand l'éviter

Pour un PRODUIT de deux fonctions de natures différentes (x·eˣ, x·cos x…) : c'est plutôt l'intégration par parties.

Interprétation

On « absorbe » la dérivée intérieure dans dt pour retomber sur une primitive du tableau.

Piège au concours

Oublier de remplacer dx par dt (le facteur g′), ou oublier de revenir à x à la fin.

Astuce mémo

« je pose l'intérieur = t, je remplace dx, j'intègre, je reviens à x ».

Exemple, ∫ cos(2x) dx

On pose $t = 2 x$ , donc $\frac{d t}{d x} = 2$ , soit $d x = \frac{d t}{2}$ . L'intégrale devient $\int cos (t) \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int cos t d t = \frac{1}{2} sin t + C$ .

On revient à $x$ ( $t = 2 x$ ) : $\int cos (2 x) d x = \frac{1}{2} sin (2 x) + C$ .

Méthode 2, L'intégration par parties

Elle sert à intégrer un produit. Elle vient directement de la dérivée d'un produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ : en intégrant les deux côtés et en réarrangeant, on obtient la formule. On choisit $u$ (qu'on va dériver) et $v^{'}$ (qu'on va intégrer).

Intégration par parties

\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x

u

facteur qu'on DÉRIVE (→ u′)—

v^{'}

facteur qu'on INTÈGRE (→ v)—

Quand l'utiliser

Pour un produit de deux fonctions de natures différentes : polynôme × exponentielle, polynôme × cos/sin, ou × ln.

Quand l'éviter

Si une simple substitution marche : la préférer (plus rapide).

Interprétation

On échange une intégrale difficile (∫u v′) contre une plus simple (∫u′ v), en « passant » la dérivée de v′ vers u.

Piège au concours

Mal choisir u et v′ : on doit rendre ∫u′v PLUS simple. Règle utile : u = le ln ou le polynôme (il se simplifie en dérivant).

Astuce mémo

« u·v moins l'intégrale de v·u′ » : ∫u v′ = uv − ∫u′ v.

Exemple, ∫ x·eˣ dx

On pose $u = x$ (donc $u^{'} = 1$ ) et $v^{'} = e^{x}$ (donc $v = e^{x}$ ). La formule donne $\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ .

Soit $e^{x} (x - 1) + C$ . On a remplacé $\int x e^{x} d x$ (difficile) par $\int e^{x} d x$ (immédiat) en choisissant $u = x$ (qui se simplifie en dérivant).

Calcule

\int (3 x + 1)^{4} d x

par substitution.Intermédiaire

Solution détaillée

On pose

t = 3 x + 1

d t = 3 d x

donc

d x = \frac{d t}{3}

. L'intégrale devient

\int t^{4} \frac{d t}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{t ^{5}}{5} = \frac{t ^{5}}{15}

. On revient à

x

\frac{( 3 x + 1 ) ^{5}}{15} + C

Vérifie que tu as compris

Pour ∫ x·cos(x²) dx, substitution ou intégration par parties ?Réfléchis puis ouvre ▾

Substitution. Le facteur

x

est, au coefficient

\frac{1}{2}

près, la dérivée de l'intérieur

x^{2}

: c'est la signature de la substitution. On pose

t = x^{2}

d t = 2 x d x

, et on obtient

\frac{1}{2} \int cos t d t = \frac{1}{2} sin (x^{2}) + C

. L'intégration par parties, elle, sert quand les deux facteurs sont de natures étrangères, comme

x cos x

Dans ∫ x·ln x dx, que choisis-tu comme u et pourquoi ?Réfléchis puis ouvre ▾

u = ln x

v^{'} = x

. En dérivant, le

ln

devient

1/ x

et disparaît, ce qui simplifie l'intégrale restante. Le choix inverse ferait apparaître un

x^{2} ln x

, donc pire qu'au départ. Règle : on dérive ce qui se simplifie.

Qu'oublie-t-on le plus souvent à la fin d'une substitution ?Réfléchis puis ouvre ▾

De revenir à la variable de départ : une réponse en

t

n'est pas une réponse. Et si l'intégrale est définie, il faut soit revenir à

x

, soit convertir les bornes en

t

, jamais mélanger les deux.

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Dériver un produit terme à terme
Pourquoi : on calque la règle de la somme
(uv)′ = u′v + uv′, PAS u′v′. Pareil pour le quotient (règle dédiée).
Oublier la règle de la chaîne
Pourquoi : fonction composée non repérée
(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) : dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur.
Conclure « extremum » dès que f′ = 0
vérifier le changement de signe ; x³ a f′(0)=0 sans extremum (inflexion).
Confondre sens de variation (f′) et concavité (f″)
f′ dit monte/descend ; f″ dit convexe/concave. Deux étages distincts.
Oublier la constante + C en intégrant
une primitive est définie à une constante près ; toujours écrire + C (intégrale indéfinie).
Appliquer xⁿ⁺¹/(n+1) au cas n = −1
la primitive de 1/x est ln|x| ; la formule des puissances exclut n = −1.
Confondre f(a) et f′(a) dans l'équation de la tangente
Pourquoi : l'un est la hauteur, l'autre la pente
tangente : y = f′(a)(x−a) + f(a), pente f′(a) et point (a, f(a)).

Points clés à retenir

Dérivée = pente de la tangente = vitesse de variation instantanée ; tangente : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
$f^{'} > 0$ ⇒ croissance ; $f^{'} < 0$ ⇒ décroissance ; $f^{'} = 0$ ⇒ candidat extremum (vérifier le changement de signe).
$f^{''}$ donne la concavité (convexe/concave), pas le sens de variation.
Valeur $f (a)$ , variation $f^{'} (a)$ et concavité $f^{''} (a)$ sont trois informations indépendantes.
Règles : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(f (g))^{'} = f^{'} (g) g^{'}$ (chaîne).
Intégrale d'une fonction positive = aire sous la courbe = limite de sommes de rectangles.
Primitive : $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (sauf $n = - 1$ ⇒ $ln ∣ x ∣$ ).
Substitution : poser $t = g (x)$ , remplacer $d x$ , intégrer, revenir à $x$ ; par parties : $\int u v^{'} = uv - \int u^{'} v$ .

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