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Géométrie plane

La géométrie plane récompense ceux qui font un schéma. La grande majorité des questions se résolvent avec quelques outils : le théorème de Pythagore, celui de Thalès, les formules d'aire et la géométrie analytique (les points repérés par des coordonnées), à condition d'avoir bien lu la figure.

1Le théorème de Pythagore

L'outil des distances

Dès qu'il y a un angle droit, Pythagore relie les trois côtés. C'est l'outil n°1 pour calculer une distance « en diagonale » à partir de deux distances perpendiculaires, d'une échelle contre un mur à la diagonale d'un écran.

Théorème de Pythagore

a^{2} + b^{2} = c^{2}

c

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long)longueur

a, b

les deux côtés de l'angle droitlongueur

Quand l'utiliser

Dans un triangle RECTANGLE, pour trouver un côté à partir des deux autres.

Quand l'éviter

Triangle sans angle droit : utiliser la loi des cosinus (Al-Kashi).

Interprétation

Le carré construit sur l'hypoténuse a la même aire que les deux carrés des autres côtés réunis.

Piège au concours

Appliquer Pythagore sans angle droit ; oublier que c est toujours l'hypoténuse (le plus grand côté).

Astuce mémo

« le grand au carré = somme des deux petits au carré ». c = √(a² + b²).

3² + 4² = 25 ⟹ c = √25 = 5.000

a (côté)3

b (côté)4

Déplace les côtés : l'hypoténuse c est toujours la racine de la somme des carrés.

Fais glisser les côtés a et b : l'hypoténuse c vaut toujours √(a² + b²).

Un triangle a des côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?Réfléchis puis ouvre ▾

Oui :

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2}

. La réciproque de Pythagore dit que si

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, alors le triangle est rectangle (angle droit face au plus grand côté). C'est un test très rapide à connaître.

Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son sommet atteint 4 m de haut. À quelle distance du mur est son pied ?Facile

Solution détaillée

Triangle rectangle :

5^{2} - 4^{2} = 25 - 16 = 9 = 3

m. (Le fameux triangle 3-4-5.)

Vérifie que tu as compris

Quelle condition faut-il pour appliquer Pythagore ?Réfléchis puis ouvre ▾

Un angle droit dans le triangle. Sans lui, on passe à la loi des cosinus.

Dans a² + b² = c², que représente c ?Réfléchis puis ouvre ▾

L'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.

À quoi sert la réciproque de Pythagore ?Réfléchis puis ouvre ▾

À tester si un triangle est rectangle : si

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, il l'est.

2Trigonométrie du triangle rectangle (SOH-CAH-TOA)

Relier un angle et les côtés

Dans un triangle rectangle, les trois rapports de côtés ne dépendent que de l'angle aigu

θ

. Ils permettent de trouver un côté à partir d'un angle (ou un angle à partir de deux côtés), ce que Pythagore seul ne sait pas faire. Un des outils les plus utilisés du concours.

Les trois rapports : SOH-CAH-TOA

sin θ = \frac{opp}{hyp} cos θ = \frac{adj}{hyp} tan θ = \frac{opp}{adj}

θ

angle aigu considéré° ou rad

o pp

côté OPPOSÉ à l'angle θlongueur

a d j

côté ADJACENT à θ (touche l'angle, ≠ hypoténuse)longueur

h y p

hypoténuse (face à l'angle droit, le plus long)longueur

Quand l'utiliser

Dans un triangle RECTANGLE, dès qu'un angle aigu et un côté (ou deux côtés) sont en jeu.

Quand l'éviter

Triangle sans angle droit : passer à la loi des sinus ou des cosinus.

Interprétation

Chaque rapport relie l'angle à deux côtés : connais-en deux des trois (angle + un côté, ou deux côtés), tu trouves le reste.

Piège au concours

Confondre opposé et adjacent, ou prendre l'hypoténuse pour un côté de l'angle droit.

Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : Sin = Opp/Hyp · Cos = Adj/Hyp · Tan = Opp/Adj.

θ = 35°

sin θopposé/hypoténuse0.574

cos θadjacent/hypoténuse0.819

tan θopposé/adjacent0.700

angle θ

Fais varier l'angle θ : les côtés opposé (rouge) et adjacent (bleu) changent, et les trois rapports sin / cos / tan se recalculent en direct.

Trouver l'angle : les fonctions réciproques

Si tu connais un rapport, l'angle se retrouve avec les touches

sin^{- 1}

cos^{- 1}

tan^{- 1}

(arcsin, arccos, arctan). Ex.

tan θ = 1 \Rightarrow θ = 4 5^{\circ}

Dans un triangle rectangle, l'angle vaut 30° et l'hypoténuse mesure 10. Quelle est la longueur du côté opposé ?Réfléchis puis ouvre ▾

On choisit le rapport qui relie ce qu'on CHERCHE (le côté opposé) à ce qu'on CONNAÎT (l'hypoténuse) : le sinus.

sin 3 0^{\circ} = \frac{opp}{10}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

, donc

opp = 10 \times \frac{1}{2} = 5

Un plan incliné s'élève de 3 m sur une longueur (hypoténuse) de 6 m. Quel est l'angle d'inclinaison ?Facile

Solution détaillée

sin θ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

, donc

θ = 3 0^{\circ}

. (Le sinus relie la hauteur, le côté opposé, à l'hypoténuse.)

Vérifie que tu as compris

Quel rapport relie l'opposé et l'hypoténuse ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le sinus :

sin θ = \frac{opp}{hyp}

Comment retrouver l'angle à partir d'un rapport connu ?Réfléchis puis ouvre ▾

Avec les fonctions réciproques

sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}

(arcsin, arccos, arctan).

Quel côté est l'« adjacent » à θ ?Réfléchis puis ouvre ▾

Celui qui touche l'angle

θ

sans être l'hypoténuse.

3Thalès et proportions

L'outil des parallèles

Dès que tu vois des droites parallèles qui coupent deux sécantes, pense proportions. Thalès permet de calculer une longueur inaccessible (la hauteur d'un arbre, d'une pyramide) à partir d'ombres ou de longueurs semblables.

Théorème de Thalès

\frac{A B}{A B ^{'}} = \frac{A C}{A C ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

A B, A C

longueurs sur les deux sécantes (petit triangle)longueur

A B^{'}, A C^{'}

longueurs correspondantes (grand triangle)longueur

Quand l'utiliser

Quand deux droites parallèles découpent des segments proportionnels (triangles semblables).

Quand l'éviter

Sans parallélisme : les rapports ne sont plus égaux.

Interprétation

Les parallèles « projettent » les longueurs en gardant les mêmes proportions : agrandissement à l'identique.

Piège au concours

Mal associer les côtés correspondants ; appliquer Thalès sans vraies parallèles.

Astuce mémo

« même forme, taille différente » : les rapports de côtés homologues sont égaux.

Choisir le bon théorème

Pythagore = distances avec un angle droit. Thalès = proportions avec des parallèles. Identifie d'abord lequel s'applique selon ce que la figure te donne.

Un bâton de 1 m planté verticalement projette une ombre de 1,5 m. Au même instant, un arbre projette une ombre de 9 m. Quelle est sa hauteur ?Réfléchis puis ouvre ▾

Les rayons du soleil sont parallèles : les deux triangles (bâton/ombre et arbre/ombre) sont semblables. Donc

\frac{h}{9} = \frac{1}{1 , 5}

, d'où

h = \frac{9}{1 , 5} = 6

m. C'est Thalès déguisé, les proportions suffisent, sans mesurer l'arbre.

Vérifie que tu as compris

Quelle configuration déclenche l'usage de Thalès ?Réfléchis puis ouvre ▾

Des droites parallèles coupant deux sécantes : les longueurs deviennent proportionnelles.

Pythagore ou Thalès : lequel pour des proportions ?Réfléchis puis ouvre ▾

Thalès (parallèles, proportions). Pythagore sert aux distances avec un angle droit.

Que partagent deux triangles en configuration de Thalès ?Réfléchis puis ouvre ▾

La même forme (triangles semblables) : leurs côtés homologues sont dans le même rapport.

Pour le futur médecin

Une radiographie agrandit toujours ce qu'elle montre, et c'est Thalès qui le dit. Les rayons X partent d'un foyer quasi ponctuel et divergent en cône. La taille de l'ombre projetée sur le capteur est à la taille réelle de l'organe ce que la distance foyer-capteur est à la distance foyer-organe : $\frac{taille image}{taille r e ˊ elle} = \frac{d _{foyer-capteur}}{d _{foyer-organe}}$ .

Conséquence : plus l'organe est loin du capteur, plus il paraît gros. C'est pourquoi une radiographie du thorax de référence se prend le patient de face contre le capteur, faisceau entrant par le dos, et à grande distance du tube : le cœur, situé en avant, est alors tout près du capteur et son agrandissement reste faible. Sur un cliché pris dans l'autre sens, le cœur paraît plus gros qu'il n'est.

4Aires et périmètres

Figure	Périmètre	Aire
Rectangle (L, ℓ)	$2 (L + ℓ)$	$L \times ℓ$
Triangle	somme des côtés	$\frac{base \times hauteur}{2}$
Cercle (rayon r)	$2 π r$	$π r^{2}$
Triangle quelconque	somme des côtés	$\frac{1}{2} ab sin γ$

Le périmètre est une longueur (unité simple) ; l'aire est une surface (unité au carré).

Aire ≠ périmètre

Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes. À périmètre fixé, c'est le cercle (puis le carré) qui maximise l'aire, un principe qu'on retrouve dans les bulles de savon et les cellules.

Un rectangle a une aire de 60 m² et une longueur de 4 m de plus que sa largeur. Quel est son périmètre ?Facile

Solution détaillée

Largeur

ℓ

ℓ (ℓ + 4) = 60 \Rightarrow ℓ^{2} + 4 ℓ - 60 = 0 \Rightarrow ℓ = 6

, longueur 10. Périmètre :

2 (10 + 6) = 32

Vérifie que tu as compris

Quelle est l'aire d'un disque de rayon r ?Réfléchis puis ouvre ▾

π r^{2}

; son périmètre (circonférence) vaut

2 π r

Périmètre et aire ont-ils la même unité ?Réfléchis puis ouvre ▾

Non : le périmètre est une longueur (m), l'aire une surface (m²).

À périmètre fixé, quelle figure a la plus grande aire ?Réfléchis puis ouvre ▾

Le cercle (puis le carré), un principe visible dans les bulles de savon.

Pour le futur médecin

En imagerie, on estime le volume d'une tumeur, d'un kyste ou de la prostate en assimilant la structure à un ellipsoïde. On mesure trois diamètres perpendiculaires $a$ , $b$ , $c$ à l'échographie ou au scanner, et l'on applique $V = \frac{π}{6} a b c \approx 0, 52 a b c$ . C'est la méthode standard du calcul de volume prostatique.

L'approximation est assumée, mais elle suffit pour suivre une évolution, et elle rappelle l'effet d'échelle : si les trois diamètres augmentent chacun de 10 %, le volume est multiplié par $1, 1^{3} \approx 1, 33$ , soit +33 %. Un seul diamètre en hausse de 10 % semble anodin ; le volume, lui, a déjà pris un tiers.

5L'effet d'échelle (le piège le plus rentable)

Comprendre vraiment

Quand on agrandit une figure d'un facteur

k

: les longueurs sont multipliées par

k

, les aires par

k^{2}

, et les volumes par

k^{3}

. C'est l'un des raisonnements les plus testés, et les plus mal maîtrisés.

Si l'échelle ×	Longueur ×	Aire ×	Volume ×
2	2	4	8
3	3	9	27
$k$	$k$	$k^{2}$	$k^{3}$

Pour le futur médecin

Ce principe (la « loi d'échelle ») explique beaucoup de biologie. La surface corporelle croît comme le carré de la taille, mais le volume (et la masse) comme le cube : c'est pourquoi les petits animaux perdent leur chaleur plus vite (grande surface par unité de volume). En pharmacologie, certaines doses se calculent d'ailleurs par m² de surface corporelle, pas par kg, justement à cause de cette loi.

On double le rayon d'un disque. Par combien son aire est-elle multipliée ?Réfléchis puis ouvre ▾

Par 4, pas par 2 :

π (2 r)^{2} = 4 π r^{2}

. L'aire grandit comme le carré de l'échelle. Répondre « 2 » est l'erreur la plus fréquente.

Deux ballons sphériques sont semblables, le second a un rayon 3 fois plus grand. Combien de fois plus de gaz contient-il ?Niveau concours

Solution détaillée

Le volume varie comme le cube de l'échelle :

3^{3} = 27

fois plus de gaz. (Sa surface, elle, est seulement

3^{2} = 9

fois plus grande.)

Vérifie que tu as compris

On multiplie les longueurs par k. Par combien l'aire est-elle multipliée ?Réfléchis puis ouvre ▾

Par

k^{2}

: l'aire suit le carré de l'échelle.

Et le volume, sous une échelle k ?Réfléchis puis ouvre ▾

Par

k^{3}

: le volume suit le cube de l'échelle.

Pourquoi un petit animal perd-il sa chaleur plus vite ?Réfléchis puis ouvre ▾

Parce que sa surface (∝ taille²) est grande par unité de volume (∝ taille³).

6Géométrie analytique (dans un repère)

La géométrie devient du calcul

En plaçant les points dans un repère (coordonnées

(x, y)

), les questions de géométrie deviennent de simples calculs. Distance, milieu, centre de gravité : tout se déduit des coordonnées.

Distance et milieu de [AB]

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

A B

distance entre A et Blongueur

M

milieu du segment [AB]point

Quand l'utiliser

Pour calculer une longueur ou un point milieu à partir de coordonnées.

Quand l'éviter

Sans repère (figure « nue ») : revenir à Pythagore / Thalès.

Interprétation

La distance n'est qu'un Pythagore : Δx et Δy sont les deux côtés de l'angle droit, AB l'hypoténuse.

Piège au concours

Oublier les carrés, ou soustraire dans le mauvais ordre (le carré rend le signe sans importance ici).

Astuce mémo

Distance = « Pythagore sur les écarts » ; milieu = « moyenne des coordonnées ».

A(-3 ; -2)

B(3 ; 2)

distance AB = √(6² + 4²) = 7.21

milieu M = (0 ; 0)

Bₓ

B_y

Déplace le point B : la distance AB est l'hypoténuse du triangle (Δx, Δy) en pointillés, et M (vert) est le milieu, la moyenne des coordonnées.

Comment trouve-t-on le centre de gravité (centroïde) d'un triangle ABC à partir des coordonnées de ses sommets ?Réfléchis puis ouvre ▾

On fait la moyenne des coordonnées des trois sommets :

G = (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})

. C'est l'extension naturelle de la formule du milieu (moyenne de deux points → moyenne de trois points).

Calcule la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6).Intermédiaire

Solution détaillée

A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

. (Encore un triangle 3-4-5 caché.)

Équation d'une droite : pente, parallèles et perpendiculaires

Une droite non verticale s'écrit $y = m x + p$ : $m$ est la pente (la « montée » par unité horizontale) et $p$ l'ordonnée à l'origine. À partir de deux points, la pente vaut $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ . Deux relations tombent tout le temps au concours.

Parallélisme et perpendicularité

parall \overset{e}{ˋ} les : m_{1} = m_{2} perpendiculaires : m_{1} \cdot m_{2} = - 1

m_{1}, m_{2}

pentes des deux droites—

Quand l'utiliser

Pour tester si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires, ou construire l'une à partir de l'autre.

Quand l'éviter

Pour une droite verticale (pente infinie) : traiter le cas x = constante à part.

Interprétation

Même pente = même inclinaison = parallèles. Le produit des pentes = −1 signale un angle droit (les pentes sont inverses et opposées).

Piège au concours

Oublier le signe : la perpendiculaire d'une pente 2 a pour pente −1/2, pas +1/2 ni −2.

Astuce mémo

« parallèles : mêmes pentes ; perpendiculaires : produit −1 ».

Trouve l'équation de la droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 8), puis la pente d'une droite qui lui est perpendiculaire.Intermédiaire

Solution détaillée

Pente :

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3

. Avec A :

2 = 3 \times 1 + p \Rightarrow p = - 1

, donc

y = 3 x - 1

. La perpendiculaire a pour pente

m^{'} = - \frac{1}{3}

(produit −1).

Équation d'un cercle

Le cercle de centre

(a, b)

et de rayon

R

est l'ensemble des points à distance

R

du centre. En appliquant la formule de distance :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

. Centré à l'origine, cela se simplifie en

x^{2} + y^{2} = R^{2}

. C'est juste Pythagore écrit pour tous les points du cercle.

Un cercle a pour équation

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

. Donne son centre et son rayon. Le point (5 ; 3) est-il dessus ?Niveau concours

Solution détaillée

Centre

(2; - 1)

, rayon

R = 25 = 5

. Test du point :

(5 - 2)^{2} + (3 + 1)^{2} = 9 + 16 = 25

: la distance au centre vaut bien 5, le point est surle cercle. Attention au signe :

(y + 1)^{2}

correspond à

b = - 1

Vérifie que tu as compris

La formule de distance AB cache quel théorème ?Réfléchis puis ouvre ▾

Pythagore :

Δ x

Δ y

sont les côtés de l'angle droit,

A B

l'hypoténuse.

Comment trouve-t-on le milieu d'un segment [AB] ?Réfléchis puis ouvre ▾

On fait la moyenne des coordonnées :

M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont perpendiculaires si… ?Réfléchis puis ouvre ▾

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

: la perpendiculaire d'une pente 2 a pour pente

- \frac{1}{2}

7Les angles

Configuration	Propriété
Somme des angles d'un triangle	vaut toujours $18 0^{\circ}$
Angles opposés par le sommet	égaux
Angles alternes-internes (droites //)	égaux
Angles correspondants (droites //)	égaux
Complémentaires / supplémentaires	somme $9 0^{\circ}$ / $18 0^{\circ}$

Dans un triangle, deux angles valent 40° et 75°. Quel est le troisième ?Réfléchis puis ouvre ▾

La somme des angles d'un triangle vaut

18 0^{\circ}

, donc le troisième vaut

180 - (40 + 75) = 6 5^{\circ}

. Cette règle débloque énormément de questions d'angles.

Vérifie que tu as compris

Que valent deux angles opposés par le sommet ?Réfléchis puis ouvre ▾

Ils sont égaux.

Entre deux parallèles coupées par une sécante, que valent les angles alternes-internes ?Réfléchis puis ouvre ▾

Ils sont égaux (comme les angles correspondants).

Deux angles complémentaires ont pour somme… ?Réfléchis puis ouvre ▾

9 0^{\circ}

(supplémentaires :

18 0^{\circ}

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Appliquer Pythagore sans angle droit
vérifier l'angle droit ; sinon, utiliser la loi des cosinus.
Confondre Pythagore (distances) et Thalès (proportions)
angle droit ⇒ Pythagore ; parallèles ⇒ Thalès.
Confondre côté opposé et côté adjacent en trigo
l'opposé est FACE à l'angle θ ; l'adjacent le TOUCHE (sans être l'hypoténuse) : SOH-CAH-TOA.
Croire que doubler une dimension double l'aire
Pourquoi : raisonnement linéaire
l'aire est multipliée par k² (et le volume par k³).
Mélanger unités de longueur et d'aire
le périmètre est en m, l'aire en m² : ne jamais les additionner.
Oublier le carré dans la distance √(Δx² + Δy²)
c'est un Pythagore : élever Δx et Δy au carré avant la racine.
Mal associer les côtés homologues dans Thalès
respecter l'ordre des sommets : petit côté avec son grand côté correspondant.
Oublier que la somme des angles d'un triangle = 180°
le troisième angle se déduit toujours des deux autres.
Se tromper de pente pour une perpendiculaire
Pourquoi : on oublie l'inverse ET le signe
m₁·m₂ = −1 : la perpendiculaire d'une pente 2 a pour pente −1/2.
Mal lire le centre d'un cercle (x−a)² + (y−b)² = R²
le centre est (a ; b) : (y+1)² donne b = −1, et R = √(second membre), pas le second membre.

Points clés à retenir

Toujours faire un schéma annoté avant de calculer.
Pythagore (angle droit) : $c = a^{2} + b^{2}$ ; sa réciproque teste si un triangle est rectangle.
Triangle rectangle : SOH-CAH-TOA, $sin θ = \frac{opp}{hyp}$ , $cos θ = \frac{adj}{hyp}$ , $tan θ = \frac{opp}{adj}$ .
Thalès (parallèles) : rapports de côtés homologues égaux.
Aire $\propto$ (échelle)², volume $\propto$ (échelle)³ ; longueur $\propto$ échelle.
Repère : distance $= Δ x^{2} + Δ y^{2}$ (un Pythagore), milieu = moyenne des coordonnées.
Centre de gravité d'un triangle = moyenne des coordonnées des 3 sommets.
Droite $y = m x + p$ , pente $m = \frac{Δ y}{Δ x}$ ; parallèles $m_{1} = m_{2}$ , perpendiculaires $m_{1} m_{2} = - 1$ .
Cercle : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ , centre $(a, b)$ , rayon $R$ .
Somme des angles d'un triangle = 180°.

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